Правильная фигура: Правильные фигуры в геометрии — презентация по Геометрии

Содержание

Правильная фигура, 7 букв, первая буква К — кроссворды и сканворды

квадрат

Слово «квадрат» состоит из 7 букв:

— первая буква К

— вторая буква В

— третья буква А

— четвертая буква Д

— пятая буква Р

— шестая буква А

— седьмая буква Т

Посмотреть значние слова «квадрат» в словаре.

Альтернативные варианты определений к слову «квадрат», всего найдено — 41 вариант:

  • … Полибия в криптографии
  • «Остепеняющая» двойка
  • Большой … Пегаса на небе
  • Вторая степень числа
  • Выпрямленный ромб
  • Выродок среди прямоугольников
  • Геометрическая фигура
  • Геометрия шахматной доски
  • Знаменитый конь, орловский рысак гнедой масти
  • Куб, попавший под каток
  • Лошадь века, жеребец рысистой породы, знаменитый конь-рекордист, которому поставлен памятник в России
  • Малевич прославился, закрасив его черным
  • Мономино
  • Название офицерского знака различия на петлицах в Красной Армии до 1943 года
  • Перемноженное число
  • Повесть российского писателя А.Г.Адамова «… сложности»
  • Правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны
  • Проекция куба на плоскость
  • Произведение числа на самого себя
  • Промежуток в строках
  • Прямоугольник
  • Равносторонний прямоугольник
  • Символ клавиши «Стоп»
  • Символ, которым на магнитофоне изображается клавиша «СТОП»
  • Скажите по-латински «четырехугольный»
  • Советская дворовая игра с мячом для четырех человек
  • У Малевича он чёрный
  • Фигура в геометрии
  • Фигура Малевича
  • Фильм Юрия Мороза «Черный …»
  • Форма грани куба
  • Форма сиденья табуретки
  • Чёрная картина Малевича
  • Черная фигура, прославившая Малевича
  • Чёрное пятно в биографии Малевича
  • Черное творение Малевича
  • Черный на полотне Малевича
  • Черный у Малевича
  • Четыре для двух
  • Четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами
  • Шахматная клетка по форме

Правильная фигура // ОПТИМИСТ

Правильная фигура // ОПТИМИСТ

Поиск по сайту

Архивы

Архивы Выберите месяц Апрель 2022  (105) Март 2022  (378) Февраль 2022  (323) Январь 2022  (349) Декабрь 2021  (337) Ноябрь 2021  (292) Октябрь 2021  (378) Сентябрь 2021  (204) Август 2021  (22) Июль 2021  (17) Июнь 2021  (44) Май 2021  (45) Апрель 2021  (134) Март 2021  (180) Февраль 2021  (177) Январь 2021  (117) Декабрь 2020  (47) Ноябрь 2020  (23) Октябрь 2020  (26) Сентябрь 2020  (169) Август 2020  (157) Июль 2020  (314) Июнь 2020  (295) Май 2020  (203) Апрель 2020  (291) Март 2020  (386) Февраль 2020  (289) Январь 2020  (425) Декабрь 2019  (287) Ноябрь 2019  (308) Октябрь 2019  (265) Сентябрь 2019  (230) Август 2019  (146) Июль 2019  (117) Июнь 2019  (49) Май 2019  (89) Апрель 2019  (76) Март 2019  (62) Февраль 2019  (44) Январь 2019  (56) Декабрь 2018  (87) Ноябрь 2018  (115) Октябрь 2018  (186) Сентябрь 2018  (102) Август 2018  (72) Июль 2018  (167) Июнь 2018  (134) Май 2018  (66) Апрель 2018  (99) Март 2018  (58) Февраль 2018  (88) Январь 2018  (174) Декабрь 2017  (128) Ноябрь 2017  (137) Октябрь 2017  (132) Сентябрь 2017  (115) Август 2017  (110) Июль 2017  (141) Июнь 2017  (129) Май 2017  (118) Апрель 2017  (107) Март 2017  (89) Февраль 2017  (141) Январь 2017  (136) Декабрь 2016  (113) Ноябрь 2016  (103) Октябрь 2016  (114) Сентябрь 2016  (161) Август 2016  (220) Июль 2016  (247) Июнь 2016  (244) Май 2016  (209) Апрель 2016  (215) Март 2016  (257) Февраль 2016  (218) Январь 2016  (204) Декабрь 2015  (196) Ноябрь 2015  (195) Октябрь 2015  (320) Сентябрь 2015  (285) Август 2015  (295) Июль 2015  (297) Июнь 2015  (304) Май 2015  (269) Апрель 2015  (232) Март 2015  (269) Февраль 2015  (256) Январь 2015  (267) Декабрь 2014  (301) Ноябрь 2014  (333) Октябрь 2014  (253) Сентябрь 2014  (265) Август 2014  (300) Июль 2014  (324) Июнь 2014  (355) Май 2014  (218) Апрель 2014  (282) Март 2014  (246) Февраль 2014  (291) Январь 2014  (281) Декабрь 2013  (227) Ноябрь 2013  (333) Октябрь 2013  (485) Сентябрь 2013  (420) Август 2013  (282) Июль 2013  (301) Июнь 2013  (430) Май 2013  (223) Апрель 2013  (255) Март 2013  (329) Февраль 2013  (175) Январь 2013  (222) Декабрь 2012  (297) Ноябрь 2012  (342) Октябрь 2012  (471) Сентябрь 2012  (310) Август 2012  (367) Июль 2012  (361) Июнь 2012  (349) Май 2012  (99) Апрель 2012  (678) Март 2012  (90) Февраль 2012  (60) Январь 2012  (487) Декабрь 2011  (554) Ноябрь 2011  (814) Октябрь 2011  (838) Сентябрь 2011  (616) Август 2011  (688) Июль 2011  (724) Июнь 2011  (443) Май 2011  (823) Апрель 2011  (496) Март 2011  (33) Февраль 2011  (189) Январь 2011  (683) Декабрь 2010  (229) Ноябрь 2010  (357) Октябрь 2010  (269) Сентябрь 2010  (426) Август 2010  (125) Июль 2010  (155) Апрель 202  (1) © 2022   ОПТИМИСТ   //  Вверх   //

Правильные фигуры и тела — презентация онлайн

1. Правильные фигуры и тела

Выполнила: Беленкова Ольга
Александровна

2. Введение.

Задачи:
Цели:
Познакомиться
с информацией.
Точнее познакомиться
с понятием правильные
многогранники.
Проанализировать её.
Написать реферат.
Узнать их значение
в обыденной жизни.
Защитить его.

3. Правильные фигуры и тела.


Геометрия — раздел математики, изучающий
пространственные отношения и формы.
Пусть дан в окружность равнобедренный
треугольник ACD, у которого угол C равен углу D
и равный двум углам A. Проведем биссектрисы
CE и CB углов Си D соответственно. Тогда угол
А будет равен всем четырем полученным углам,
а, следовательно, будут равны
соответствующие им дуги и стягивающие их
хорды, то есть AB=BC=CD=DE=EA. Итак,
вписанный в окружность пятиугольник ABCDE
будет равносторонним. Поскольку угол шесть
равен углу два и угол семь равен углу пять как
углы, опирающиеся на одинаковые дуги AE и AB
соответственно, то все углы 1-7 будут равными
и, следовательно, каждый угол пятиугольника
ABCDE будет составлен из трех равных углов,
то есть угол A равен углу B и равен углу C углу
D и углу E. Также все эти углы равны трем углам
CAD. Таким образом, построенный пятиугольник
является равносторонним и равноугольным, то
есть правильным.

4. Правильные многогранники и научные факты.

• Правильных многогранников всего ПЯТЬ! Сама
природа подсказала пифагорейцам форму
правильных тел: кристаллы поваренной соли имеют
форму куба, кристаллы квасцов октаэдра, а
кристаллы пирита – додекаэдра.
• Однако важнейшее свойство выпуклых
многогранников было установлено лишь в середине
18 века теоремой Эйлера: во всяком выпуклом
многограннике число вершин (L) плюс число граней
(M) минус число ребер (N) есть величина постоянная
равная двум:
L+M-N=2
Правильный
многогранник
Граней, М
Число
вершин, L
Число ребер,
N
Геометрия
Грани, m
тетраэдр
4 (тетра)
4
6

3
октаэдр
8 (окто)
6
12

4
икосаэдр
20 (икоси)
12
30

5
гексаэдр
6 (гекса)
8
12
3
додекаэдр
12
(додека)
20
30
3

6. Научные фантазии и правильные многогранники.

• МНОГОГРАННИК — геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками, называемыми гранями. Стороны
граней называются ребрами многогранника, а концы
ребер — вершинами многогранника. Ни одни
геометрические тела не обладают таким
совершенством и красотой, как правильные
многогранники. «Правильных многогранников
вызывающе мало, — написал когда-то Л. Кэрролл, — но
этот весьма скромный по численности отряд сумел
пробраться в самые глубины различных наук».

7. Тетраэдр.

• Тетраэдрчетырехгранник, все
грани которого
треугольники, т.е.
треугольная пирамида;
правильный тетраэдр
ограничен четырьмя
равносторонними
треугольниками; один
из пяти правильных
многоугольников.

8. Куб.

• Куб или
правильный
гексаэдр правильная
четырехугольная
призма с равными
ребрами,
ограниченная
шестью квадратами.

9. Октаэдр.

• Октаэдрвосьмигранник; тело,
ограниченное восемью
треугольниками;
правильный октаэдр
ограничен восемью
равносторонними
треугольниками; один
из пяти правильных
многогранников.

10. Додекаэдр.

• Додекаэдрдвенадцатигранник,
тело, ограниченное
двенадцатью
многоугольниками;
правильный
пятиугольник; один
из пяти правильных
многогранников.

11. Икосаэдр.

• Икосаэдрдвадцатигранник, тело,
ограниченное
двадцатью
многоугольниками;
правильный икосаэдр
ограничен двадцатью
равносторонними
треугольниками; один
из пяти правильных
многогранников.

13. Мистика ПЯТИ правильных многогранников.

• Платон считал, что мир строится из четырех «стихий»
— огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий»
имеют форму четырех правильных многогранников.
Итак, тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его
вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося
пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду;
куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр
– воздух. В наше время эту систему можно сравнить
с четырьмя состояниями вещества – твердым,
жидким, газообразным и плазменным. Пятый
многогранник — додекаэдр — воплощал в себе «все
сущее», символизировал весь мир и почитался
главнейшим.

14. Теории о кристаллах.

• Кристаллы правильной геометрической формы
встречаются в природе редко. Совместное действие
таких неблагоприятных факторов, как колебания
температуры, тесное окружение соседними твердыми
телами, не позволяют растущему кристаллу приобрести
характерную для него форму. Кроме того, значительная
часть кристаллов, имевших в далеком прошлом
совершенную огранку, успела утратить ее под
действием воды, ветра, трения о другие твердые тела.
Так, многие округлые прозрачные зерна, которые можно
найти в прибрежном песке, являются кристаллами
кварца, лишившимися граней в результате длительного
трения друг о друга.

15. Гипотеза о ядре Земли.


Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многогранников с
гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение
в интересной научной гипотезе, которую вначале 80-х гг. высказали
московские инженеры В. Марков и В.Морозов. Они считают, что ядро
Земли имеют форму и свойства растущего кристалла. Оказывающего
воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете.
Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают
икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она появляется в том, что в
земной коре как бы поступают проекции вписанных в земной шар
правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрододекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников,
называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств,
позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь
располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная
Монголия, Гаити и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и
минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового
океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определяет отношение к
этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники
занимают важное место.

16. Правильные многогранники в природе.


Правильные многогранники в
природе.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе.
Например, скелет одноклеточного организма феодарии по
форме напоминает икосаэдр.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов
в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не
может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для
того чтобы определить его форму, брали разные
многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что
и поток атома на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень — икосаэдр.
Правильные многогранники — самые выгодные фигуры. И
природа этим широко пользуется. Подтверждением того служит
форма некоторых кристаллов. Взять хоть бы поваренную соль,
без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо
растворима в воде, служит проводником электрического тока. А
кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиевокальциевыми квасцами (К[АI(SО4)2] . 12Н20), монокристалл
который имеет форму правильного октаэдра.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не
обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого
химического вещества имеют форму додекаэдра.
Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не
только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути
познания природной гармонии.

17. Практикум.

• Геометрические способности пчел
проявляются при построении сот. Если
разрезать пчелиные соты плоскостью,
перпендикулярной их ребрам, то станет видна
сеть равных друг другу правильных
шестиугольников, уложенных в виде паркета.
Возникает вопрос: «Почему пчелы строят соты
именно так: они предпочли сеть правильных
шестиугольников, а не правильных
треугольников или квадратов, ведь их,
кажется, проще сконструировать?»
• Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо
предварительно выяснить, какими
правильными многоугольниками можно
заполнить плоскость так, чтобы не было
пропусков, т.е. уложить их в виде паркета.
• Такими многоугольниками могут быть только
правильные треугольники, квадраты и
правильные шестиугольники.
• Для того, чтобы выяснить, почему пчела
строит соты, перпендикулярное сечение
которых есть правильный шестиугольник, а не
правильный треугольник или квадрат, решим
для этого приведенную нижу задачу.
• Задача. Даны три равновеликие друг другу
фигуры — правильный треугольник, квадрат и
правильный шестиугольник. Какая из данных
фигур имеет наименьший периметр?
• Мы видим, что из трех правильных
многоугольников с одинаковой площадью
наименьший периметр имеет правильный
шестиугольник, мудрые пчелы экономят воск
и время для построения сот.

19. Заключение.


Заключение.
Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не
переставали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и
совершенством своих форм. Леонардо да Винчи любил мастерить каркасы
правильных тел и преподносить их в дар знатным особам, возможно,
пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским
размышлениям о красоте вечных истин.
Но на пяти правильных телах история многогранников не остановилась.
Вслед за правильными телами Платона были открыты полуправильные
тела Архимеда, грани которых составлены из правильных равных
многоугольников несколько видов, причем в каждой вершине сходится одно
и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке и многогранные
углы при вершинах равны. Заметим, что тела Архимеда могут быть
получены из соответствующих тел Платона снятием равных фасок. Тел
Архимеда всего 13. Любопытно, что во второй половине ХХ в. было
обнаружено еще одно тело Архимеда псевдоромбокубооктаэдр, которое
не может быть получено путем однотипных усечением тела Платона и
поэтому в течение 2000 лет оставалось незамеченным.
И все-таки знакомство с многогранниками я советую начать с «Начал»
Евклида, ибо, как сказал Альберт Эйнштейн, «Тот не рожден для
теоретических исследований. Кто в молодости не восхищался этим
творением».

20. Спасибо за внимание!

Прямоугольная (Rectangular) и овальная (Elliptical) области выделения (Marquee Tools)

Инструмент «Прямоугольная область» (Rectangular Marquee Tool) на примере Photoshop CC (2014) (Rus)Инструмент «Овальная область» (Elliptical Marquee Tool) на примере Photoshop CC (2014) (Rus)

Есть два ключевых инструмента в Фотошоп:

Rectangular & Elliptical Marquee Tools (прямоугольная и овальная области выделения), и они совместно занимают позицию в панели инструментов.

На этой странице мы рассмотрим некоторые вещи, которые вы могли не знать об этих инструментах.

Квадраты и круги

Rectangular и Elliptical marquee tools (прямоугольная и овальная области выделения) могут быть использованы для рисования правильных квадратов и кругов. Когда вы нажимаете и проводите область, удерживайте клавишу Shift, чтобы ограничить форму в пределах круга или квадрата.

Круг – это квадрат? Нет, спасибо!

Попробуйте нарисовать круг или овал в зафиксированном положении на изображении, вы можете запутаться, откуда начинается рисование фигуры. Круг или квадрат нарисованы, как будто они были помещены в квадратную или прямоугольную форму, таким образом, вы начинаете тянуть их из угла квадратного или прямоугольного объекта.

Все это усложняет точное расположение фигуры. Чтобы упростить задачу, вы можете нарисовать свою фигуру из центра наружу, удерживая клавишу Alt во время использования инструмента выделения. Добавьте клавишу Shift для удерживания овала в пределах круга.

Правильная фигура, но неправильное положение?

Что вы делаете, когда уже нарисовали правильную фигуру, но в неправильном месте в изображении?

Не отпускайте мышь! Вместо этого, удерживая клавишу пробела, вы можете подвинуть свою фигуру в желаемую позицию. Отпустите клавишу пробела и затем левую кнопку мыши, чтобы зафиксировать выделение в выбранной позиции.

Правильная фигура, но неправильный поворот?

Когда вы хотите создать развернутую фигуру, такую как прямоугольник, квадрат или овал, для начала создайте ее, используя инструмент выделения, не обращая внимания на поворот.

Теперь отпустите кнопку мыши и выберите Select — Transform Selection (Выделение — Трансформировать выделенную область). Фигура теперь показывает маркеры трансформирования, которые вы можете использовать для ее поворота. Нажмите клавишу Ctrl, и вы можете потянуть за уголок фигуры и исказить ее. Нажмите Enter или Return, чтобы применить трансформацию и удалить маркеры.

Теперь вы можете продолжить свою работу с областью выделения.

Строгий размер выделения

Если вы хотите создать область выделения с точными размерами, из выпадающего меню Style (Стиль) выберите Fixed Size (фиксированный размер). Пропишите пиксели по ширине и высоте в рамках и нажмите на изображение, появится выделение в точности такое же, как вы задали. Используйте Fixed Ratio (фиксированное соотношение), чтобы создать выделение с фиксированным соотношением, например 1:1.25, как показано здесь.

В следующий раз, когда вам нужно будет создать выделение на изображении, используя инструмент выделения, помните, что у него намного больше возможностей, чем кажется на первый взгляд.

Перевод: Анцыперович Александра;

Источник;


Другие материалы по теме:

  1. Инструмент «Прямоугольная область выделения» (Rectangular Marquee) в Фотошопе
  2. Инструмент «Овальная область выделения» (Elliptical Marquee) в Фотошопе

Правильные геометрические фигуры и их названия. Геометрические фигуры для детей

Цели урока :

  • Познавательная : создать условия для ознакомления с понятиями плоские и объёмные геометрические фигуры, расширить представление о видах объёмных фигур, научить определять вид фигуры, сравнивать фигуры.
  • Коммуникативная : создать условия для формирования умения работать в парах, группах; воспитание доброжелательного отношения друг к другу; воспитывать у учащихся взаимопомощь, взаимовыручку.
  • Регулятивная : создать условия для формирования планировать учебную задачу, выстраивать последовательность необходимых операций, корректировать свою деятельность.
  • Личностная : создать условия для развития вычислительных навыков, логического мышления, интереса к математике, формирования познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся, самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений.

Планируемые результаты:

личностные:

  • формирование познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся; формирование ценностных отношений друг к другу;
    самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений;
  • формирование умений воспринимать, перерабатывать полученную информацию, выделять основное содержание.

метапредметные:

  • овладение навыками самостоятельного приобретения новых знаний;
  • организация учебной деятельности, планирования;
  • развитие теоретического мышления на основе формирования умений устанавливать факты.

предметные:

  • усвоить понятия плоские и объёмные фигуры, научиться сравнивать фигуры, находить плоские и объёмные фигуры в окружающей действительности, научиться работать с развёрткой.

УУД общенаучные :

  • поиск и выделение необходимой информации;
  • применение методов информационного поиска, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

УУД личностные :

  • оценивать свои и чужие поступки;
  • проявление доверия, внимательности, доброжелательности;
  • умение работать в паре;
  • выражать положительное отношение к процессу познания.

Оборудование : учебник, интерактивная доска, смайлики, модели фигур, развёртки фигур, светофоры индивидуальные, прямоугольники -средства обратной связи, Толковый словарь.

Тип урока : изучение нового материала.

Методы : словесные, исследовательские, наглядные, практические.

Формы работы : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

1. Организация начала урока.

Утром солнышко взошло.
Новый день нам принесло.
Сильными и добрыми
Новый день встречаем мы.
Вот мои руки, я раскрываю
Их навстречу солнцу.
Вот мои ноги, они твердо
Стоят на земле и ведут
Меня верной дорогой.
Вот моя душа, я раскрываю
Её навстречу людям.
Наступи, новый день!
Здравствуй, новый день!

2. Актуализация знаний.

Создадим хорошее настроение. Улыбнитесь мне и друг другу, садитесь!

Чтобы дойти до цели, надо прежде всего идти.

Перед вами высказывание, прочитайте. Что означает это высказывание?

(Чтобы чего-то добиться, нужно что-то делать)

И действительно, ребята, попадающим в цель может стать только тот, кто настраивает себя на собранность и организованность своих действий. И вот я надеюсь, что мы с вами на уроке достигнем своей цели.

Начнем наш путь к достижению цели сегодняшнего урока.

3. Подготовительная работа.

Посмотрите на экран. Что вы видите? (Геометрические фигуры)

Назовите эти фигуры.

Какое задание, вы можете предложить своим одноклассникам? (разделите фигуры на группы)

У вас на партах лежат карточки с этими фигурами. Выполните это задание в парах.

По какому признаку вы разделили эти фигуры?

  • Плоские и объемные фигуры
  • По основаниям объемных фигур

С какими фигурами мы уже работали? Что учились находить у них? Какие фигуры встречаются нам на геометрии впервые?

Какая же тема нашего урока? (Учитель добавляет слова на доске: объёмные, на доске появляется тема урока: Объёмные геометрические фигуры.)

Чему мы должны научиться на уроке?

4. «Открытие» нового знания в практической исследовательской работе.

(Учитель показывает куб и квадрат.)

Чем они похожи?

Можно ли сказать, что это одно и тоже?

Чем же отличается куб от квадрата?

Давайте проведём опыт. (Ученики получают индивидуальные фигуры – куб и квадрат.)

Попробуем приложить квадрат к плоской поверхности порты. Что видим? Он весь (целиком) лёг на поверхность парты? Вплотную?

! Как назовём фигуру, которую можно целиком расположить на одной плоской поверхности? (Плоской фигурой.)

Можно ли куб полностью (весь) прижать к парте? Проверим.

Можно ли назвать куб плоской фигурой? Почему? Есть ли пространство между рукой и партой?

! Значит, что мы можем сказать о кубе? (Занимает определённое пространство, является объёмной фигурой.)

ВЫВОДЫ: Чем же отличаются плоские и объёмные фигуры? (Учитель вывешивает на доске выводы.)

  • Можно целиком расположить на одной плоской поверхности.

ОБЪЁМНЫЕ

  • занимают определённое пространство,
  • возвышаются над плоской поверхностью.

Объёмные фигуры: пирамида, куб, цилиндр, конус, шар, параллелепипед.

4. Открытие новых знаний.

1. Назовите фигуры, изображенные на рисунке.

Какую форму имеют основания этих фигур?

Какие еще формы можно увидеть на поверхности куба и призмы?

2. Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия.

Предложите свои названия.

Боковые стороны, образующие плоскую фигуру называются гранями. А боковые линии – рёбра. Углы многоугольников – вершины. Это элементы объемных фигур.

Ребята, а как вы думаете, как называются такие объемные фигуры, у которых много граней? Многогранники.

Работа с тетрадями: чтение нового материала

Соотнесение реальных объектов и объёмных тел.

А теперь подберите для каждого предмета ту объёмную фигуру, на которую он похож.

Коробка – параллелепипед.

  • Яблоко – шар.
  • Пирамидка – пирамида.
  • Банка – цилиндр.
  • Горшок из-под цветка — конус.
  • Колпачок – конус.
  • Ваза – цилиндр.
  • Мяч – шар.

5. Физминутка.

1. Представьте себе большой шар, погладьте его со всех сторон. Он большой, гладкий.

(Ученики «обхватывают» руками и гладят воображаемый шар.)

А теперь представьте себе конус, дотроньтесь до его вершины. Конус растёт вверх, вот он уже выше вас. Допрыгните до его вершины.

Представьте, что вы внутри цилиндра, похлопайте по его верхнему основанию, потопайте по нижнему, а теперь руками по боковой поверхности.

Цилиндр стал маленькой подарочной коробочкой. Представьте, что вы сюрприз, который находится в этой коробочке. Я нажимаю кнопку и… сюрприз выскакивает из коробочки!

6. Групповая работа :

(Каждая группа получает одну из фигур: куб, пирамиду, параллелепипед.Полученную фигуру дети изучают, выводы записывают в подготовленную учителем карточку .)
Группа 1. (Для изучения параллелепипеда)

Группа 2. (Для изучения пирамиды)

Группа 3. (Для изучения куба)

7. Решение кроссворда

8. Итог урока. Рефлексия деятельности.

Решение кроссворда в презентации

Что нового вы для себя сегодня открыли?

Все геометрические фигуры можно разделить на объёмные и плоские.

А я узнал названия объёмных фигур

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

  • призма;
  • сфера;
  • конус;
  • цилиндр;
  • пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

  • Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
  • В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
  • Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
  • В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
  • Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.

Геометрические объемные тела

Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:

  1. Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
  2. Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
  3. Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.

Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:

  1. Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
  2. Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.

Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:

  1. Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
  2. Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.

Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.

Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.

Фигура куб: описание

Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.

Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.

Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.

Фигура пирамида

Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.

Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.

Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH 4 , в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Фигура призма

Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.

Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.

Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).

Геометрические фигуры — это замкнутые множества точек на плоскости или в пространстве, которые ограничены конечным числом линий. Они могут быть линейными (1D), плоскими (2D) или пространственными (3D).

Любое тело, имеющее форму, представляет собой совокупность геометрических фигур.

Любую фигуру можно описать математической формулой различной степени сложности. Начиная от простого математического выражения до суммы рядов математических выражений.

Основными математическими параметрами геометрических фигур являются радиусы, длины сторон или граней и углы между ними.

Ниже представлены основные геометрические фигуры, наиболее часто используемые в прикладных расчетах, формулы и ссылки на расчетные программы.

Линейные геометрические фигуры

1. Точка

Точка — это базовый объект измерения. Основной и единственной математической характеристикой точки является её координата.

2. Линия

Линия — это тонкий пространственный объект имеющий конечную длину и представляющий собой цепь связанных друг с другом точек. Основной математической характеристикой линии является длина.

Луч — это тонкий пространственный объект имеющий бесконечную длину и представляющий собой цепь связанных друг с другом точек. Основными математическими характеристиками луча являются координата его начала и направление.

Плоские геометрические фигуры

1. Круг

Круг — это геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до его центра, не превышает заданного числа, называемого радиусом этого круга. Основной математической характеристикой круга является радиус.

2. Квадрат

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Основной математической характеристикой квадрата является длина его стороны.

3. Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам (прямые). Основными математичскими характеристиками прямоугольника являются длины его сторон.

4. Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки (вершины треугольника), не лежащие на одной прямой. Основными математическими характеристиками треугольника являются длины сторон и высота.

5. Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Основными математическими характеристиками трапеции являются длины сторон и высота.

6. Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Основными математическими характеристиками параллелограмма являются длины его сторон и высота.

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны, а углы его вершин не равны 90 градусам. Основными математическими характеристиками ромба являются длина его стороны и высота.

8. Эллипс

Эллипс — это замкнутая кривая на плоскости, которая может быть представлена как ортогональная проекция сечения окружности цилиндра на плоскость. Основными математическими характеристиками окружности являются длина его полуосей.

Объемные геометрические фигуры

1. Шар

Шар — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой шара является его радиус.

Сфера — это оболочка геометрического тела, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой сферы является её радиус.

Куб — это геометрическое тело, представляющее собой правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Основной математической характеристикой куба является длина его ребра.

4. Параллелепипед

Параллелепипед — это геометрическое тело, представляющее собой многогранник, у которого шесть граней и каждая из них прямоугольник. Основными математическими характеристиками параллелепипеда являются длины его ребер.

5. Призма

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Основными математическими характеристиками призмы являются площадь основания и высота.

Конус — это геометрическая фигура, полученная объединением всех лучей, исходящих из одной вершины конуса и проходящих через плоскую поверхность. Основными математическими характеристиками конуса являются радиус основания и высота.

7. Пирамида

Пирамида — это многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющие общую вершину. Основными математическими характеристиками пирамиды являются площадь основания и высота.

8. Цилиндр

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Основными математическими характеристиками цилиндра являются радиус основания и высота.

Быстро выполнить эти простейшие математические операции можно с помощью наших онлайн программ. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлены все геометрические фигуры, которые наиболее часто встречаются в геометрии для представления объекта или его части на плоскости или в пространстве.

Тема урока

Геометрические фигуры

Что такое геометрическая фигура

Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.

Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.

К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.

Что такое геометрия

Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.

Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.

Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.

К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.

Точка

Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….


А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.

Прямая

Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.


Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.

Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.

Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.

Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.

Задание

Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.

Плоскость

Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.

Угол

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.



Задание:

1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.

Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.

Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.

Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.

Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.

Трапеция

При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.

Окружность и круг

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.


Треугольник

Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.

Задание: Какой треугольник называют вырожденным?



Многоугольник

К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.


В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.

А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.

Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.

«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.

«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.

А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению…

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению…

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению…

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы » ГДЗ онлайн

Автор Беликова Ирина На чтение 7 мин Просмотров 25

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

  • высота — прямая, перпендикулярная плоскостям, лежащим у основания многогранника;
  • боковые рёбра — стороны, являющиеся общими для боковых граней;
  • вершины — точки, принадлежащие сразу двум отрезкам и формирующим периметр геометрического тела;
  • диагонали — отрезки, проходящие через 2 вершины, но при этом несвойственные одной грани;
  • диагональные плоскости — пересекающие боковые рёбра и диагональ у основания.

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

  • Площадь основания. Так как в основе тела лежат правильные шестиугольники, то, используя их свойства, можно получить формулу: S = (3 * a 2 * √ 3) / 2, где: а — сторона многоугольника.
  • Площадь полной поверхности. Определяется она из равенства: Sb = 6 * a * h + 2 * (3 * a 2 * √ 3) / 2. Из-за того, что площадь плоскости можно получить путём сложения сторон призмы и двух поверхностей её основания, а грань — прямоугольник (S прямоугольника = a * h), то указанная формула будет верной.
  • Объём. Он равняется произведению площади основания на высоту. Роль последней может играть ребро любой стороны, например, BB1. Учитывая сказанное, формулу можно записать так: V = S * BB 1 = ((3 √ 3) / 2) * (a2 * h).
  • Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .

    Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

    По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA12 + AE2)= √(h3 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB12 + BE2) = √(h3 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE2 + EE2) = √(h3 + a2) = √2 *a.

    Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h3 + a2), что и следовало доказать.

    Решение простого примера

    Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

    Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

    Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

    Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

    С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

    Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E2 = C1C2 + CE = 22 + (4 c3) 2. C1E2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

    Задача высокого уровня

    Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

    Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

    В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

    Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

    Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

    Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

    Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a2 * sin60 / 2 = (R2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

    Размеры изображений в уценке R Document

    Это первая часть из четырех частей серии

    .

    Компания Jumping Rivers недавно перенесла наш веб-сайт с WordPress для Хьюго. Основная причина переезда заключалась в том, что, поскольку вся команда очень хорошо работает с Git, постоянная интеграция и постоянное развитие использование генератора статических веб-сайтов имело больше смысла, чем WordPress. Дополнительные преимущества снижают скорость загрузки страниц и общую безопасность сайта — сайты WordPress печально известны быть взломан, если не поддерживается в актуальном состоянии.

    Размышление о WordPress вызывает множество болезненных воспоминаний, одним из преимуществ было то, что он (вроде как) скрывает боль от оптимизации изображений для веб-страниц. Существует множество плагинов WordPress, которые манипулируют, кэшируют и оптимизируют доставку. вашей графики. Конечно, это тоже потенциальная проблема безопасности, но это уже другая история. Когда мы переносили наши страницы, мы заметили, что графика в сообщениях блога и описания курсов немного отличались. Изображения имели разное разрешение, форматы файлов и размеры.Хотя все они выглядели нормально, они определенно не были стандартизированы или оптимизированы!

    В этой серии постов мы рассмотрим (простую?) задачу генерации и включения цифр для Интернета с помощью R & {knitr}. Изначально планировалось, что это будет один пост. но по мере увеличения длины мы решили выделить его в отдельные статьи. Четыре поста, которые мы собираемся осветить, это

    .
    • установка размера изображения (данный пост)
    • выбор типа изображения, PNG или JPEG или SVG
    • включая несгенерированные файлы в документе
    • установка глобальных параметров {knitr}.

    Прежде чем мы двинемся дальше, все эти серии статей посвящены веб-документам. То, как мы обрабатываем PDF-файлы, немного отличается и будет рассмотрено в другое время. Также я пытаюсь оптимизировать изображения для веба, но в то же время не собираюсь отслеживайте каждый последний байт, чтобы сократить скорость страницы на миллисекунду.

    Также стоит прочитать наш предыдущий пост о создании согласованных графиков в R для разных операционные системы.


    Вы используете RStudio Pro? Если это так, ознакомьтесь с нашими управляемыми услугами RStudio.


    Что делает фигурки особенными

    В Интернете есть много информации о том, как оптимизировать изображения для веб-сайтов.Такие рисунки, как линейные графики, точечные диаграммы и гистограммы, необходимо обрабатывать. немного иначе, чем на картинках. Графики имеют несколько отличительных характеристик.

    Поскольку они обычно содержат текст, это означает, что мы должны обратить особое внимание на Качество изображения. Кроме того, хотя мы можем легко изменить размер фотографии, изменение размера графика с помощью текст может сделать ось нечитаемой. Кроме того, изображения содержат тонкие линии и, возможно, используют непрозрачность на графике.

    Основная проблема, которую мы пытаемся решить, заключается в том, что мы создаем веб-страницу (файл HTML), страница дает содержащее поле с определенной шириной и высотой.Мы хотим создать фигуру, соответствующую этим размерам.

    Если созданная нами фигура слишком велика для коробки, браузер (или какой-нибудь хитрый серверный плагин) изменит размер вашего изображения. У этого есть два недостатка

    • если клиент скачает изображение, это увеличит скорость загрузки вашей страницы
    • если рисунок содержит текст, то текст станет меньше

    Если фигура меньше рамки, то ваша фигура будет выглядеть пиксельной, а текст может стать нечитаемым.

    Проблема DPI

    Если вы когда-либо гуглили веб-графику, вы наверняка сталкивались с DPI или количеством точек на дюйм. Типичная рекомендация для веб-графики — 72 dpi. Однако это совершенно неверный способ думать об этом. Когда вы размещаете графику/изображение на веб-сайте, у вас есть определенное количество пикселей. Это единица измерения, которую необходимо учитывать при создании графики. Если вы создаете график для PDF, то DPI важен, так как вы можете втиснуть больше точек в пространстве.Однако на мониторе у вас есть пиксели.

    Если ваш веб-дизайнер говорит вам предоставить изображение размером 600 на 600 пикселей — это то, что ему нужно. Точек на дюйм на самом деле не входит в этот расчет!

    Единственное предостережение к вышеизложенному (как мы увидим) заключается в том, что dpi изменяет размер текста при создании R изображений.

    Настройка размеров изображения

    Если вы создаете графику с помощью функции png() (или аналогичного графического устройства), тогда вам просто нужно указать размеры, используя ширину и высоту аргументы.В качестве примера создадим простую диаграмму рассеяния {ggplot2}

    .
      библиотека ("ggplot2")
    дд = data.frame(x = 0:10, y = 0:10)
    g = ggplot (dd, aes (x, y)) +
      геометрическая_точка()
      

    , который мы затем сохраняем с размерами 400 на 400 пикселей:

      png("figure1-400.png", ширина = 400, высота = 400, тип = "cairo-png")
    грамм
    dev.off()
      

    Это создает изображение идеального размера 400 на 400 пикселей

      # Как мы увидим ниже, возможно, нам придется удвоить это разрешение
    # для дисплеев Retina
    тусклый(png::readPNG("figure1-400.png", ПРАВДА))
    #> [1] 400 400
      

    Когда мы включаем точечную диаграмму

      вязание::include_graphics("figure1-400.png")
      

    получается идеального размера и разрешения.

    Графический принцип Златовласки

    Предположим, мы создали изображения, размер которых не подходит для HTML-контейнера. Это действительно настолько плохо? Если мы создадим изображение в два раза больше, 800 пикселей на 800 пикселей,

      png("figure1-800.png", ширина = 800, высота = 800, тип = "cairo-png")
    грамм
    разв.выключенный()
      

    и попытайтесь втиснуть его в прямоугольник размером 400 пикселей. Шрифт размер становится крошечным. «Качество» рисунка нормальное, просто нечитабельно.

    Если мы создадим изображение размером всего 200 пикселей, а затем расширим его, чтобы оно соответствовало контейнеру размером 400 пикселей, текст становится слишком большим, а график нечетким.

      png("figure1-200.png", ширина = 200, высота = 200, тип = "cairo-png")
    грамм
    dev.off()
      

    Вместо этого нам нужно что-то не слишком большое и не слишком маленькое.Но то, что как раз подходит к .

    Установка размеров в {knitr}

    В Jumping Rivers большая часть когда мы создаем графики для HTML-страниц, это выполняется в течение Документ уценки R через {knitr}. Выше мы создали изображения путем указания точного количества пикселей. Однако в {knitr} нельзя указать количество пикселей при создании изображения, вместо этого вы устанавливаете размеры фигуры, а также выходные размеры. Единицы изображения жестко закодированы в дюймах в пределах {knitr}.

    Размеры изображения рассчитываются с помощью рис.высота * dpi и рис.ширина * dpi . Аргумент fig.retina также вступает в игру, но мы установим fig.retina = 1 , что будет соответствовать приведенному выше, а затем вернемся к этой идее в конце.

    Если мы хотим создать изображение с размерами d1 и d2 , то мы устанавливаем чанки {knitr} равными

    • рис. ширина = d1 / 72 ,
    • рис. ширина = d2 / 72
    • dpi = 72 — по умолчанию
    • рис.сетчатка = 1
    • dev.args = list(type = "cairo-png") — на самом деле не требуется, но вы должны установить его!

    Теоретически вы должны установить dpi на что угодно и получить то же изображение, но значение dpi передается аргументу res в png() и управляет масштабированием текста. Таким образом, изменение dpi на означает, что ваш текст изменится. На практике оставьте dpi со значением по умолчанию. Если вы хотите изменить размер текста, измените их на своем графике.

    А как насчет out.width и out.height?

    Аргументы {knitr} out.width и out.height не изменяют размеры png созданный. Вместо этого они контролируют размер HTML-контейнера на веб-странице. Как мы видели выше, мы хотим, чтобы размер контейнера соответствовал размеру изображения. По умолчанию это должно происходить, но можно явно указать размеры out.width="400px" .

    А как же рис.сетчатка?

    Когда для fig.retina установлено значение 2, разрешение dpi удваивается, но размер дисплея уменьшается вдвое. Практический результат этого:

    • Размеры файлов увеличиваются, поэтому увеличивается и загрузка страниц
    • любой, у кого есть дисплей Retina, увидит более четкий график
    • , если кто-то увеличит график в браузере, график все равно будет хорошо выглядеть даже при 200% увеличение.

    Значения по умолчанию для fig.retina различаются между {rmarkdown} и {knitr}.Так что вместо пытаясь понять это, установите его явно вверху документа через

      ## Или 1, если хотите
    Knitr::opts_chunk$set(рис.сетчатка = 2)
      

    Установленное вами значение 1 или 2 не влияет на значения, установленные для dpi и рис. На что он влияет , так это на размер сгенерированного изображения. Если ты мне не веришь, создайте два изображения и проверьте размеры с помощью функции png::readPNG() .

    А как же рис.жерех?

    Аргумент chunk fig.asp управляет соотношением сторон графика. Например, установка fig.width = fig.height даст соотношение сторон 1. Следовательно, вы бы определили только два из fig.width , fig.height и fig.asp .

    Обычно я устанавливаю fig.asp = 0.7 в заголовке {knitr}, игнорирую fig.height и указываю fig.width в каждом чанке по мере необходимости.

    Это все?

    К сожалению, нет. Следующие три графика имеют все использовали одни и те же параметры чанка {knitr}

    • рис. ширина = 400/72 и рис. высота = 400/72

    Это был наш рабочий пример {ggplot2}

    Это изменение темы через hrbrthemes::theme_ipsum()

      г + hrbrthemes::theme_ipsum()
      

    и это стандартная базовая графика

    Обратите внимание, что последние два графика имеют большую белую рамку вокруг них.Вы можете использовать инструмент для автоматической обрезки пустого пространства, но это изменит размеры изображения. Вместо этого вы должны использовать код R для удаления окружающего пробела.


    Забудьте о произвольных целях и квотах. Правильная цифра для женщин в руководстве — 50% | Женщины в лидерстве

    Кто такой лидер? Существует множество способов определить «лидерство»: Google предлагает около 100 000 ответов. Но если оставить в стороне определения, ни один из этих ответов вряд ли будет самым правдивым и распространенным: а именно, что лидер — это мужчина.

    Хотя явные описания того, как выглядит хороший лидер, значительно различаются, есть свидетельства того, что у нас есть устоявшиеся убеждения, которые удивительно последовательны. IAT (Тест имплицитных ассоциаций), очень уважаемый тест бессознательных предубеждений, показывает, что и мужчины, и женщины проявляют предвзятое отношение к мужчинам как к лидерам, независимо от их явных взглядов.

    Сама природа имплицитных процессов означает, что мы часто не осознаем их присутствия и их влияния на наши суждения и поведение.Например, отдел кадров одной крупной многонациональной организации, с которой мы работали, недоумевал, почему в компании так мало женщин на руководящих должностях.

    Часть ответа заключалась в их критериях лидерства, которые состояли из шести элементов, в том числе: видение, развертывание, взаимодействие, исполнение и харизма. По сути, они описывали высокопоставленного солдата: быстрее и проще было бы сказать: «Ищем парня».

    Женщины, конечно, могут демонстрировать эти качества, но стереотипно это качества, связанные с мужчинами, что дает нам представление о лидерстве, которое соответствует мужским гендерным стереотипам.Это может привести к предположению, что женщины не подходят для этой работы, и в результате решения о трудоустройстве, скорее всего, будут неблагоприятными.

    Тридцать лет назад считалось общепризнанным, что причина того, что на руководящих должностях было так мало женщин, заключалась в том, что мужчины им больше подходили. Мужчины были рациональны, аналитичны и решительны. Женщин открыто описывали как эмоциональных, гормональных и нерешительных. В последние годы это негативное изображение женщин вполне справедливо вызывало возражения, поэтому характер и тон описаний изменились.

    Сегодня существует направление, которое мы с моей женой Джо Кандолой называем подходом «ценность различий». Подход, который мы описываем в нашей новой книге «Изобретение различий: история гендерных предубеждений на работе» , говорит о том, что два пола не только имеют разные стили работы, но и женский стиль недооценивается.

    Сила мужчин осталась прежней: рациональной, аналитической и решительной. Женские сильные стороны, однако, теперь рассматриваются как сострадание, забота и сопереживание.Аргумент гласит, что сочетание мужчин и женщин в команде создает идеальное сочетание навыков: женские качества дополняют мужские. Хотя сторонники этой позиции думают, что они говорят о «ценности различий», на самом деле они увековечивают вековые стереотипы. Положительные описания делают стереотипы очень привлекательными, и многие женщины примут их за правильные. Но не заблуждайтесь, они все еще являются стереотипами.

    За последние несколько десятилетий произошло много позитивных изменений, однако эквивалентного изменения мышления не произошло.СМИ постоянно цитируют исследования, демонстрирующие, что мужчины и женщины имеют разные качества и стили работы. Организации должны быть готовы бросить вызов этой ортодоксальности и вытекающим из нее действиям. Нам не нужны семинары о том, как мужчины и женщины могут лучше ценить друг друга. Вместо этого нам нужно понять, как стереотипы и предубеждения влияют на решения, которые мы принимаем на работе.

    Нам также необходимо бросить вызов квотному подходу. Учитывая, что женщины в равной степени способны быть лидерами как сейчас, так и в будущем, почему в отчете Дэвиса указывается, что представительство женщин в совете директоров составляет всего 25%, а Клуб 30% ставит цель на пять пунктов выше?

    Эти цели произвольны и лишены логики.Из-за их неправильного толкования или невежества в недавних исследованиях они добились того, что, хотя некоторые краткосрочные выгоды могут быть возможны, они просто становятся частью системы, которая лишает женщин признания и ценности, которых они заслуживают.

    На самом деле правильная цифра (а не «цель») — 50%. Как только мы примем это, мы сможем перевернуть аргумент с ног на голову: вместо того, чтобы говорить: «Это цель, над достижением которой мы работаем», мы должны спросить: «Учитывая, что правильная цифра составляет 50%, почему мы не достиг этого?

    Как сказал американский комик Джордж Карлин: «Мужчины из земли и женщины из земли».Преодолей это.

    Профессор Бинна Кандола ОБЕ является старшим партнером в Pearn Kandola LLP

    10%? 15%? Как понять, достаточно ли вы копите на пенсию

    Simonkr | Е+ | Getty Images

    Для большинства американцев, чтобы выйти на пенсию с достаточно большим капиталом, требуются десятилетия планирования, а также последовательные и адекватные сбережения.

    Выяснение того, с чего начать — или на правильном ли вы пути в любом возрасте — может сбивать с толку и пугать.

    По словам Риты Ассаф из Fidelity, один из самых распространенных вопросов, которые возникают у людей, — сколько откладывать на пенсию. «И это неудивительно, потому что нужно учитывать так много элементов», — сказала она.

    Чтобы начать вычислять, сколько вы должны откладывать каждый месяц, Ассаф рекомендует получить общее представление о том, когда вы хотите выйти на пенсию. Вы не можете точно знать, в каком возрасте вы перестанете работать, особенно если вы молоды, но без какой-либо финишной черты в конечном итоге будет сложнее оказаться в нужном месте.

    Еще от Advice and the Advisor:

    Если вы стремитесь к более длительному сроку службы, возможно, вам не придется откладывать так много. Это происходит по трем причинам: вы даете своим деньгам больше времени для накопления, в то время как вы все еще получаете зарплату, в конечном итоге у вас будет более короткий период на пенсию, и вы можете получить более высокий чек социального обеспечения, потому что вы ждали, чтобы получить выгоду.

    С другой стороны, если вы хотите выйти на пенсию раньше, большую часть вашего текущего дохода придется направить на сбережения.

    Ваш «общий прогноз благосостояния» — еще один важный фактор, определяющий, сколько вы должны откладывать в старости, — говорит Лорен Уайбар, сертифицированный специалист по финансовому планированию и старший финансовый консультант Vanguard.

    Например, если у вас есть недвижимость, которую вы планируете продать или которая будет приносить доход в будущем, это может означать, что вы можете откладывать меньше, сказал Вайбар. Ожидание пенсии или значительного наследства также может уменьшить сумму ваших сбережений.

    Том Армстронг, глава отдела анализа клиентов Voya Financial, говорит, что работники также хотят думать о том, как будут выглядеть их расходы после ухода из карьеры. «Мы считаем, что большинство людей должны иметь достаточно сбережений, чтобы при выходе на пенсию получать не менее 70% своего предпенсионного дохода», — сказал Армстронг.

    Для достижения этой цели, по словам Армстронга, людям обычно нужно откладывать от 10% до 15% своей зарплаты каждый месяц (это доход до вычета налогов).

    Это также был общий план ежемесячных сбережений, предложенный Кэтрин Голладей, главой отдела финансовых услуг на рабочем месте в Charles Schwab.

    Golladay, однако, имел два дополнения: во-первых, процент от вашего дохода, который вы откладываете, включает в себя любое совпадение с работодателем, которое вы можете получить, поэтому вам может потребоваться откладывать, скажем, только 5% заработной платы, если ваша компания предлагает 5%-е соответствие ваши сбережения.

    Она также сказала, что вы хотите добавить 10% к плану сбережений за каждое десятилетие, когда вы откладываете эту рутину. Поэтому, если вы начинаете готовиться к пенсии в 30 лет, вам следует откладывать от 20 до 25% своей зарплаты, а не от 10 до 15%.

    Хотя эти цифры могут быть полезны при определении цели, они могут иметь неприятные последствия, сказал Майкл Лирш, глава отдела консультирования и планирования в Wells Fargo.

    «Важнее сохранить что-то, чем расстраиваться из-за того, что вы не экономите рекомендуемую сумму», — сказал Лиерш.

    «Делай, что можешь, в любой момент своей жизни», — добавил он. «Когда у вас есть привычка экономить, со временем вы будете экономить больше».

    Действительно, даже увеличение ваших сбережений всего на 1% может иметь большое значение, сказал Ассаф. Для семьи, зарабатывающей 60 000 долларов в год, этот скачок после десятилетий работы может привести к дополнительным 270 долларам пенсионного дохода в будущем.


    Ключ ответа рабочего листа конгруэнтных фигур. N W uA 0lglq UrFi NgLh MtxsQ Dr1e gshe ErmvFe id R. Геометрия Доказательства AP CPCTC Рабочий лист I . Рабочий лист конгруэнтных фигур/ключ ответа. 2 - Конгруэнтные фигуры Video1. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковый размер и форму. 141 Урок 3 . Я могу доказать конгруэнтность треугольников, используя SSS, ASA. 4 м в длину, при этом флагшток отбрасывает тень 7. Отображение всех рабочих листов, относящихся к конгруэнтным треугольникам 1 ключ ответа.Показать свою работу. 2 Геометрия Глава 4 – Конгруэнтные треугольники ***Чтобы получить полную оценку за ваши задания, они должны быть выполнены вовремя, и вы должны ПОКАЗАТЬ ВСЕ РАБОТЫ. Скорее всего, вы знаете, что люди много раз искали свои любимые книги за этими ответами на листе конгруэнтности sss и sas, но заканчивали работу вредоносными загрузками. x +6 =25 19 2. Треугольники, четырехугольники… Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур Рабочий лист.Этот ресурс также включает ключ ответа. Рабочий лист от kuta software llc. 5. Запустите подобные треугольники из yoshiwarabooks. Доказательство конгруэнтности треугольников Эти уроки и рабочие листы помогут учащимся распознавать конгруэнтные формы и вести себя так, чтобы это было выгодно для бизнеса. Рабочий лист руководства PLA. Все наши рабочие листы приведены в соответствие с общими стандартами основного штата, и все рабочие листы содержат ключ ответа. 18 Просмотров 74 Загрузки Рабочий лист конгруэнтных фигур - онлайн-чтение и математика для детей Тип файла PDF Геометрический рабочий лист 1 2 Конгруэнтность и сложение сегментов Ключ ответа Геометрический рабочий лист 1 2 Конгруэнтность и сложение сегментов Ключ ответа Когда кому-то нужно пойти в книжные магазины, найдите подстрекательство по магазину , полка за полкой, это принципиально проблематично.Доказательства совпадения треугольников Рабочий лист с ответами на перетаскивание. предсказать, как сумма внутренних углов пятиугольника будет отличаться в сферической геометрии. (iii) стороны BA и BC конгруэнтны (даны). Назовите, если возможно, постулат, делающий треугольники равными. Ключ ответа на рабочий лист похожих фигур, а также великолепные математические основы 10 и рабочие листы предварительного исчисления. Рабочий лист на семи страницах содержит пятьдесят задач. (Читайте J' как простое число J. Отказ от числового ключа ответа, который я закончил! Тип файла PDF Рабочий лист Похожие многоугольники и треугольники Ответный лист Подобные многоугольники и треугольники Ответный ключ Если у вас есть такой упомянутый рабочий лист, аналогичные многоугольники и треугольники ответный ключ книги, которые позволят вам стоить, получите бестселлер от нас в настоящее время от нескольких любимых авторов.. Являются ли фигуры справа конгруэнтными или подобными? Отправить мои ответы моему учителю. Государственные школы округа Принс-Джордж. Фигура, ограниченная тремя сторонами, не похожа на другие фигуры, с которыми мы работаем. 5x =540 108 4. 2 1 не похоже 2 похоже. Рабочие листы с ответами на конгруэнтные треугольники. Рабочий лист Подобные многоугольники и треугольники Ключ ответа Автор: jobs. Коллекция рабочих листов конгруэнтных треугольников по ключевым понятиям, таким как конгруэнтные части конгруэнтных треугольников, конгруэнтность… Рабочие листы для печати @ www.Огайо. Конгруэнтные фигуры не состоят из одного и того же… Слово «конгруэнтный» происходит от латинского слова «congruere», означающего «соответствовать» или «в гармонии». геометрия-рабочий лист-1-2-конгруэнтность-и-сегмент-дополнение-ключ-ответа 1/1 Загружено с сайта datacenterdynamics. Ответ 62 о. Затем раскрасьте конгруэнтные множества. Математика 2 Раздел 3 Рабочий лист 1 Математика 2 Раздел 3 Рабочий лист 1 Название: Конгруэнтные фигуры Дата: Пер: [1-2] Каждая пара многоугольников конгруэнтна. ≅ [3-7] Используйте диаграмму справа. захватывает воображение ребенка.Похожие фигуры могут стать друг другом простым изменением размера слайда или поворота. Вот почему у нас есть вступительные испытания для всех соискателей, которые хотят работать у нас. 7 м в длину. Покажите ответы на похожие фигуры. com Для каждого набора первые три раздела/дня являются вычислительной практикой. Выберите ответ и нажмите «Далее». Тщательно рассмотрены теоремы о конгруэнтности SSS, SAS и ASA, которые составляют основу для доказательства конгруэнтности треугольников, а также RHS-конгруэнтность по правому краю. Конгруэнтные фигуры 198 Глава 4 Конгруэнтные треугольники Алгебра 1 Обзор, стр. 30 Алгебра Решите каждое уравнение.©3 Y2v0V1n1 Y AKFuBt sal MSio 4fWtYwza XrWed 0LBLjC S. Покажите ответы других неконгруэнтных многоугольников по мере необходимости для более чем другой пары ответов. n ABC ù n CDA; SAS 2. Параметры PDF. Эти рабочие листы представляют собой файлы PDF для печати. 29 июля 2021 г. · Доказательство конгруэнтности треугольников. Ключ к ответу на рабочем листе. Уроки и рабочие листы организованы в семь разделов, каждый из которых охватывает одну основную область геометрии и представлен в удобном для понимания формате, включая заголовок, посвященный конкретной теме/навыку, цель обучения, специальные материалы (если таковые имеются), учебные заметки с пошаговые инструкции, ключи к ответам и воспроизводимые листы заданий для учащихся.В чем разница между подобными и конгруэнтными фигурами? В математике есть такое понятие, как сходство и конгруэнтность. Заполните, чтобы написать каждое утверждение соответствия. Такие фигуры, как квадрат, четырехугольник, прямоугольник и четырехугольник, имеют внутренний угол, равный 360. Я могу доказать конгруэнтность треугольников, используя sss asa. 1 конгруэнтные фигуры ответ ключ 1. ∆ ≅∆ 2. Конгруэнтные фигуры Рабочий лист. x +10 =2x 10 5. Рабочие листы с ответами на конгруэнтные треугольники. Ребенок нередко находит что-то самостоятельно, когда изучает что-то совершенно новое.Этот рабочий лист «Конгруэнтные и похожие фигуры» содержит примечания и примеры, которые помогут учащимся понять разницу между конгруэнтными и похожими фигурами. Ключ ответа здесь. 4 - Практика конгруэнтности треугольников3. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковый размер и форму. В этих рабочих листах учащиеся определяют конгруэнтные формы. Исследуя лист похожих фигур, ответьте на вопрос 4, какая сторона соответствует pq. В то время как конгруэнтный ответ рабочего листа. Эти занятия по цифровой геометрии помогут вашим учащимся понять и попрактиковаться в конгруэнтных фигурах.Я могу идентифицировать конгруэнтные части многоугольника, используя утверждение конгруэнтности. Для большинства фигур достаточно просто проверить, одинаковы ли они, но для треугольников нужно усвоить 4 правила. Рабочие листы с подобными и конгруэнтными фигурами. н НКХ х н ТМГ; AAS 5. Блогспот. 1) Дано: какой высоты дерево? _____ 5 футов 20 футов 4 фута 2) Дано: метровая палка отбрасывает тень 1. Следовательно, согласно постулату SAS, два треугольника конгруэнтны. Он имеет разные формы в зависимости от сторон таких фигур, как пятиугольник (форма с пятью сторонами), шестиугольник (форма с шестью сторонами), семиугольник (форма с семью сторонами) и .1x + 2x + 3x = 180. Этот цифровой ресурс использует Google Slides™ и может использоваться в Google Classroom и Google Drive. По указанным размерам фигур определите, равны ли они. Затем вам нужно будет нарисовать еще одну линию на рабочем листе и поместить ее вверху рабочего листа. Конгруэнтные треугольники доказывают ответы на листе. 192 координатное доказательство с. 0 a LMta wdYes 8w 2ilt MhX 3IIn of Ki7nmijt se T CGre Ho3m qe StPrty 8. Вопрос 6. ____ (4-1) Классификация треугольников – День 1 Страница 180-181 # 1-4, 7-10, 22-29, 32, 33 2.Рабочий лист 1 2 Ключ к ответу на соответствие и сложение сегментов . Стенограмма презентации: 1 Рабочие листы по геометрии Конгруэнтные треугольники #3. Для каждого из наборов длин решите x и найдите длину каждого сегмента. 4 - Быстрая оценка конгруэнтной фигуры1. Некоторые рабочие листы для этой концепции используют cpctc с конгруэнтностью треугольников, доказывающую конгруэнтность треугольников 4 конгруэнтность треугольников и конгруэнтность треугольников треугольники работают 1 4 s sas asa … ОпубликованоLauren O'Neal' Изменено более 5 лет назад. «Рабочий лист «Конгруэнтные треугольники aas hl» отвечает на mp3497 геометрию прямоугольных треугольников, ключ ответа 1.Меры углов в треугольнике cde находятся в расширенном отношении 1 : Раздел 6 Подобные треугольники Домашнее задание 2 Подобные фигуры Ответ Ключ / Объяснение урока Конгруэнтные треугольники Nagwa. Используйте теорему о конгруэнтности HL, чтобы доказать, что n DAB ù n BCD. Ключ к ответу на лист проверки конгруэнтности треугольников 4 июля 2020 г. 29 похожих рисунков Рабочий лист Ответный ключ Рабочий лист от isme-special. ) Рабочие листы защищены авторским правом и предназначены только для использования в классе.Эти рабочие листы с ключом ответа на рабочий лист геометрических фигур. Если две фигуры подобны, то соответствующие стороны подобны. Этот рабочий лист объясняет, как определить, являются ли две фигуры похожими, конгруэнтными или ни тем, ни другим. Зарегистрируйтесь и получите доступ к: Всем ответам на вопросы Опыт без рекламы Премиум/полноэкранные PDF-файлы Неограниченный доступ Узнать больше; Обновление. Вошедшие в систему участники могут использовать картотеку рабочих листов суперучителя, чтобы сохранять свои любимые рабочие листы. Основные геометрические формы включают в себя; Круги. Это форма, которую можно получить, проследив кривую, имеющую одинаковое расстояние от точки, известной как центр.Периметр меньшего треугольника равен 22 см, найдите периметр большего треугольника. Эти два треугольника равны. Есть более продвинутые шаги, которым дети должны научиться после улучшения схватывания. Рабочий лист «Конгруэнтные фигуры»Ключ ответа. Рабочий лист геометрии, конгруэнтные треугольники asa и aas, ответы из рабочего листа конгруэнтности треугольников 1, ключевой источник ответов. Просмотрите сайт, чтобы найти обучение. ID: 2878167 Язык: английский Учебный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочие листы суперучителя - www.2) длины сторон пропорциональны. Конгруэнтные/похожие фигуры – Рабочий лист №3 Используйте косвенные измерения, чтобы ответить на вопросы. Рабочий лист №1 Рабочий лист №2. Размер и форма фигур остаются прежними. День 9 Обзорный пакет ASA и AAS. День 10. Обзор. Исследование. День 11. Тест. Рабочий лист Подобные многоугольники и треугольники Ключ ответа Автор: games. Это математический PDF-лист с несколькими упражнениями, который можно распечатать. Страница подобных рисунков. Задачи 6–16 касаются написания утверждений о конгруэнтности. Ответ: (i) AD является общей стороной обоих треугольников.Поиск: Конгруэнтные треугольники Модульный тест Ответы Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур Рабочий лист. Загрузите это изображение бесплатно, нажав кнопку «Скачать» ниже. В этом рабочем листе мы будем практиковаться в вычислении объемов конусов и решении задач, включая ситуации из реальной жизни. Что такое конгруэнтность в треугольниках? Самая основная форма, о которой мы узнаем в детстве, — это треугольник. Персональный план для Вашего ребенка всего в одном шаге! Годовой $ 195 99.Осмунд сделал свою податливость непоправимой, она каталитически превзошла ее. Соответствующие углы равны. Рабочий лист по геометрии Конгруэнтные треугольники Sss Sas Ключ ответа - существует множество веб-страниц, предлагающих бесплатные арифметические рабочие листы. Загадка. ком . n ABC ù n STA; AAS 7. Рабочие листы суперучителя. Общая граница этой формы называется окружностью. Рабочий лист соответствия треугольников 2 Ключ ответа Свежий пример 7 в abc из рабочего листа подобных треугольников с источником ответов. Поэтому мы говорим, что это имеет твердое движение.ID: 2878167 Язык: английский Учебный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочие листы соответствия сходства с ответами - Таблица соответствия и доказательств Bing, ключ к ответам, уровень 3 - Используйте свои знания о конгруэнтных треугольниках, чтобы найти длины 2 балла Конгруэнтность, сходство и увеличение Год 10 H 2 3 1 балл 1 балл Рабочий лист соответствия и подобия с ответами вместе с ценными делами.PDF. Подобные многоугольники имеют одинаковую форму, но могут быть разных размеров. 1 gp ответы 1 1620 2 десятиугольник 3 103 и 103 4 115 5 77. Рабочий лист похожих фигур с ответами небрежно из подобных треугольников рабочий лист с источником ответов. Треугольники, … Похожие треугольники Рабочие листы (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур Рабочий лист. Онлайн-библиотека Ответы на лист соответствия Sss и Sas Большое спасибо за загрузку ответов на лист соответствия sss и sas. В каждой из следующих задач проверьте, равны ли два треугольника.Ключ ответа на добавление сегмента Предположим, что RS конгруэнтен MN . Дано десять задач. Рабочий лист конгруэнтных треугольников с ответом Проверьте, конгруэнтны ли два треугольника PQR и RST. Просмотр PDF. Августа. Обычные виды треугольников, с которыми мы сталкиваемся каждый день, это эквивалентные, равнобедренные и разносторонние. Практический лист к уроку 4-4. с 6 по 8 классы. Рабочие листы с конгруэнтными и подобными фигурами. Большие ученики. Нет, мне нужны рабочие листы, которые требуют большого количества бумажно-карандашных усилий и тяжелой работы.Конгруэнтные треугольники рабочий лист 1 1. n ABD ù nC DB; SSS 4. Конгруэнтные фигуры - 1 БЕСПЛАТНО. Возьмем, к примеру, равные треугольники. Нажмите на имя файла, чтобы получить доступ к файлу. Конгруэнтный рабочий лист (2 из 3) Конгруэнтный рабочий лист (3 из 3) Как и в приведенном выше списке, приведенные ниже ресурсы приведены в соответствие со стандартами Common Core For Mathematics, которые в совокупности поддерживают следующие результаты обучения: Понимание конгруэнтности и подобия с использованием физических моделей, прозрачные пленки или программное обеспечение для геометрии.Проверьте, равны ли два треугольника pqr и rst. Похожие фигуры Рабочий лист Pdf Ключ ответа - Рабочий лист сейчас Подобные треугольники рабочий лист ответ ключ также похожие фигуры рабочий лист ответы gogoheaven. Урок 4-3 Доказательства конгруэнтных треугольников. 2, чтобы получить ответ от uofscadmissions к середине декабря. Шкаф. Этот рабочий лист является дополнительным ресурсом для первого класса, который поможет учителям, родителям и… Перейти к математике 8 класс Ключ к ответу Глава 9 Трансформации и конгруэнтность. В этом листе конгруэнтности учащиеся определяют, конгруэнтны ли фигуры.50 Новый словарь • конгруэнтные многоугольники 40 Некоторые рабочие листы для этой концепции: математика 1312 урок 2 точки линии и сегменты точки мы 13 построение сегментов линии конгруэнтные формы геометрия х причины, которые можно использовать для обоснования утверждений где находятся конгруэнтные половины ответ ключевые геометрические доказательства и постулирует работу 2 информации в геометрических схемах определения точек прямых и плоскостей. 2021 · Читать онлайн-рабочий лист по геометрии Конгруэнтные треугольники Ответы с использованием координатных точек. х +7 +13 =33 13 3.См. стр. 695 713. Координатные доказательства используют фигуры в координатной плоскости и алгебру для доказательства геометрических понятий. Узнайте о внешнем фоне, чтобы проанализировать… Ответы на рабочий лист конгруэнтных треугольников. Ребенок нередко находит что-то самостоятельно, когда изучает что-то совершенно новое. p Рабочий лист от Kuta Software LLC Укажите, какая дополнительная информация требуется, чтобы знать, что треугольники конгруэнтны по указанной причине. ключевой ответ здесь. Это лишь одно из решений для вашего успеха.Некоторые рабочие листы для этой концепции: модуль 1 отношения углов ответ ключ Джина Уилсон доказательство конгруэнтности треугольников Джина Уилсон все вещи алгебра ответы 2014 pdf модуль 2 учебный план параллельно и перпендикулярно 3222016 12530 PM Ответы на практические вопросы для UNIT 3 Основы алгебры. Ответ на ключевой урок 4. Закладки для полноэкранных PDF-файлов не поддерживаются. У нас есть отличная коллекция из 100 бесплатных рабочих листов по геометрии с ключами ответов для использования учителями, учащимися и родителями, обучающимися на дому. Только замкнутые фигуры (БЕЗ отрезков, углов и т.д.Ключ к ответу Утверждения соответствия Лист 1 1) D DEF @ D YXZ . Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: блок 1 угловые отношения ответ ключ Джина Уилсон доказательство конгруэнтности треугольников Джина Уилсон ответы на все вещи алгебра 2014 pdf модуль 2 программа параллельные и перпендикулярные линии 4 s sas Congruent Shapes Multiple Choice Worksheet конгруэнтные формы ID: 1475646 Язык: английский Школьный предмет: Математика Класс/уровень: 6-8 Возраст: 10-12 Основное содержание: Конгруэнтные фигуры Другое содержание: .Чтение Символ ≅ означает конгруэнтность. Рабочие листы для повторения, образцы документов, банки вопросов и простые для изучения конспекты для всех классов и предметов, основанные на рекомендациях cbse и cce. Преобразования и ключ к ответу на рабочем листе конгруэнтности. 1. 2. com-2022-04-07T00:00:00+00:01 Тема: Рабочий лист Подобные многоугольники и треугольники Ключевые слова ответа: рабочий лист, подобные, многоугольники и треугольники, ответ, ключ Дата создания: 07.04.2020 2022 00:02:31 Поиск: Конгруэнтные треугольники Модульный тест Ответы Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур Рабочий лист.Дополните утверждения о сходстве. Ответы на листе с 3 конгруэнтными треугольниками обеспечивают всесторонний и всесторонний путь для студентов, чтобы увидеть прогресс после окончания каждого модуля. Коллекция рабочих листов конгруэнтных треугольников по ключевым понятиям, таким как конгруэнтные части конгруэнтных треугольников, утверждение о конгруэнтности, определение постулатов, конгруэнтность в прямоугольных треугольниках и многое другое, представлена ​​здесь для эксклюзивного ключа ответов. Эта проблема решена! 10 16 18 a 4 7. Учащиеся рисуют окружность вокруг вершины каждой трехмерной фигуры.Школьный округ городка Эксетер / Обзор Ключ к ответам на рабочий лист «Изучение похожих фигур» Автор: Soratawe Refuto Тема: Ключ к ответам на рабочий лист «Изучение похожих фигур». (ii) ∠ ABD = ∠ DBC (Дано). День в классе Домашнее задание День 1 Конгруэнтные треугольники Стр. Ключ с подробным ответом. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: блок 1 отношения углов ответ ключ Джина Уилсон доказательство конгруэнтности треугольников Джина Уилсон ответы на все вещи алгебра 2014 pdf блок 2 программа параллельные и перпендикулярные линии 4 с сас аса и аас конгруэнтность 4 конгруэнтность и треугольники модуль 1 угловые отношения ответ ключ … Рабочий лист конгруэнтных фигур Слово конгруэнтное происходит от латинского слова «congruere», означающего «соответствовать» или «в гармонии».Рабочие листы с ответами на конгруэнтные треугольники. Идентификацию и похожие фигуры иногда можно спутать. Ответы на вопросы по геометрии в 10 классе. Если две фигуры абсолютно одинаковы, то есть имеют одинаковый размер, длину сторон и одинаковые углы, то мы говорим, что они конгруэнтны. Этот рабочий лист «Конгруэнтные фигуры» также включает: Ключ ответа Соединение для доступа ко всем включенным материалам. В этом рабочем листе по геометрии учащиеся выбирают форму, которая соответствует заданной.Конгруэнтность углов эквивалентна одинаковой мере. Треугольники ниже равны. Конгруэнтность треугольников 9 класс помогает учащимся узнать о некоторых правилах аксиом, которые необходимо знать каждому учащемуся для продолжения учебы. Это задание включает в себя: Создано в сотрудничестве с GCSEPod. Многоугольник — это любой двухмерный (2D) образ, созданный из прямых линий. 2 - Треугольник Введение2. org 2) назвать соответствующие части и написать заявление о сходстве.Вышеуказанные ресурсы охватывают следующие навыки: Геометрия (NCTM) Анализ характеристик и свойств двух- и трехмерных геометрических фигур и разработка математических аргументов в отношении геометрических взаимосвязей. Задача 1. Решение. Чтобы преобразовать фигуру X в фигуру Y, вам нужно отразить ее по оси Y и переместить на одну единицу влево. Теорема о сумме треугольников (Теорема 5. Дешевая услуга по написанию эссе. Поиск: Ответы модульного теста на конгруэнтные треугольники Подробный ключ ответа. БЕСПЛАТНЫЙ лист благодарения по геометрии ⋆ … Показаны 8 лучших рабочих листов в категории - Преобразования, конгруэнтность и сходство.5 - Дополнительная практика2. 1), m∠ACD = 180° - 45° - 30° = 105°. Конгруэнтные подобные фигуры рабочий лист 2 используют пропорции, чтобы найти длины недостающих сторон. A x b y c z. Для треугольника справа используйте теорему о сумме углов треугольника, чтобы найти значение y. Составление фигур 439 720 игр Класс K - 5 (2303) Составление фигур Классификация четырехугольников 87 217 игр Класс 3, 4 (1509) Классификация четырехугольников Больше практики с похожими фигурами. Конгруэнтные формы. Найдите диапазон возможных показателей для ответа на лист преобразования и конгруэнтности.Скажите, конгруэнтны или не конгруэнтны пары фигур. 257-261 #13-16, 18, 28, 46, 48-50 День 2 SSS и SAS Стр. соответствующие углы B A C. А) Дополните каждое утверждение соответствия. G. S d jM8aadce M gw 0i it Отметьте углы и стороны каждой пары треугольников, чтобы показать, что они равны. Аналогичная фигура Дата создания: 03.03.2020 8:02:02 20 октября 2020 г. Моим студентам-геометриям нужно попрактиковаться в доказательстве конгруэнтности треугольников с использованием SSS, SAS, ASA, HL, SAA, а также им нужно попрактиковаться в применении этих сокращений конгруэнтности. к фигурам, в которых части не обязательно «выстраиваются в линию», или к фигурам, требующим использования вертикальных углов, являются рефлексивным свойством.Доказательство конгруэнтности треугольников. 2 доллара. Эти бесплатные упражнения с рабочими листами похожих и конгруэнтных фигур увлекут и развлекут ваших детей, пока они улучшают свои навыки. С командой чрезвычайно преданных и качественных лекторов, 4. Неконгруэнтные формы. ____ (4-2) Углы треугольников – день 2 4-2 Практическое задание Онлайн-библиотека Геометрия Рабочий лист 1 2 Конгруэнтность и сложение сегментов Ключ к ответу 2021 многие браузеры больше не будут ©4 f2x0 x1M1W xK LuWtZat uSQolfut9w 0a zroe M 8L TL IC X.Найдите величины занумерованных углов. Отменить … Являются ли фигуры справа: конгруэнтными или подобными . Bookmark File PDF 4 1 Практическая форма G Конгруэнтные фигуры Ответы modernh. н ТСУ х н ВСУ; AAS 3. 7-дневная БЕСПЛАТНАЯ пробная версия! Выставляется ежегодно Сэкономьте $50%. Рабочие листы конгруэнтности и подобия. 234 #3-11, 19, 22-25, 31 (15 задач) Таблица соответствия треугольников №1 Пятница, 9 ноября 2012 года. Однозначное умножение является ключевым элементом этого рабочего листа. Эта проблема решена! 1) равны только углы.Выберите ответы на вопросы и нажмите «Далее», чтобы увидеть следующий набор вопросов. 4-5: ASA, AAS и HL Я могу доказать конгруэнтность треугольников, используя ASA, AAS и HL Загрузить электронную книгу Доказательство с участием конгруэнтных треугольников Ключ к ответу Доказательство с участием конгруэнтных треугольников Ключ с ответом это доказательство, включающее ключ ответа на конгруэнтные треугольники, онлайн. Конгруэнтные треугольники Рабочие листы Math Monks от mathmonks. Примечания к уроку 4-4. Ответы на рабочий лист конгруэнтных треугольников - Ключ ответа на рабочий лист Ответы на рабочий лист конгруэнтных треугольников - Нередко ребенок находит что-то самостоятельно, когда изучает что-то совершенно новое.смежные внутренние углы конгруэнтны и соответственные углы конгруэнтны; точки на серединном перпендикуляре к отрезку в точности равноудалены от . Математика . Спасибо за раскрашивание многоугольников, именно при решении головоломок это число в этой строке, есть рабочий лист поставщика услуг бесплатной регистрации в формате pdf. 4. Рабочий лист конгруэнтности треугольников 1 ключ ответа вместе с рабочим листом конгруэнтных треугольников глава 4 задания для детей. Откройте PDF. Конгруэнтные треугольники Рабочий лист 2 Ключ к ответу.Конгруэнтные фигуры – это фигуры, имеющие одинаковый размер и форму. «9th Grade Math MCQ» с ответами охватывает основные понятия, теорию и аналитические оценочные тесты. 57. Конгруэнтные фигуры 1 бесплатно говорят, конгруэнтны пары фигур или нет. СТО. Изучите похожие числа на листе с ключом ответа. Изучая похожие фигурки из пяти кубиков, удивительно, что можно получить из двух одинаковых фигурок. Рабочий лист соответствия треугольников 1 ключ ответа или рабочий лист конгруэнтных треугольников 7 класс Занятия для детей Рабочий лист оценки предназначен для того, чтобы помочь вам пройти через практику оценки.Координаты отличаются, потому что порядок преобразований обратный. Классифицируйте следующие треугольники по i сторонам ii углам a b 2. Просмотр в полноэкранном режиме. Примерная задача решена. Учащиеся отвечают на вопросы о данных подобных треугольниках. Название: congruent1_TZNMN Дата создания: 15.03.2012 10:16:35 . Две фигуры могут быть либо похожими, либо конгруэнтными. Лист с загадками на похожие фигуры и пропорции. Используйте обозначения на каждой диаграмме. 11) ASA S U T D Полный ключ к ответу на рабочий лист 2 по алгебре с отличием.Учащиеся дают совпадающие ответы на рабочие листы. У него три стороны и три угла. Назовите соответствующие углы и соответствующие стороны. Ключ ответа на рабочий лист 4-4. В KidsAcademy дети могут попрактиковаться в решении рабочего листа конгруэнтных фигур, увидеть результаты своего теста и правильные ответы. com Конгруэнтные фигуры Конгруэнтные фигуры имеют одинаковый размер и форму. Как понятно, успех Поиск: Конгруэнтные треугольники Модульный тест Ответы Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур Рабочий лист.Бесплатный рабочий лист в формате PDF и ключ к ответу по нахождению длин сторон прямоугольных подобных треугольников. Н У кА рл длО 3р2и лг 2хйт рс А НрПеЦерввКейдо. 12. Итак, m∠BDC = m∠ACD = 105° по определению конгруэнтных углов. НЕ СООТВЕТСТВУЕТ СООТВЕТСТВУЕТ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ ОТВЕТУ. . Последовательность преобразований, которая позволит это сделать, выглядит следующим образом: (x, y) → (-x, y) и (x, y) → (x - 1, y) Worksheet for Third Grade Math. Два угла и невключенная сторона одного треугольника, конгруэнтные двум углам и … Конгруэнтные треугольники Рабочие листы.Совпадающие стороны называются конгруэнтными фигурами. 2 Дано определение средней точки SSS. PDF с ключом ответа: 1 2 7 6 6 6 6 24 x 36 7 10 x 99 110 8 10 100 x 100 1. В этом рабочем листе мы будем практиковаться в определении конгруэнтных и подобных фигур. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: Ответы на тест на соответствие треугольника, Раздел 4, Джина Уилсон, 2012 г., ключ к ответу на линейные уравнения, модуль 4. Раздел 4, похожие и конгруэнтные фигуры.Вам может не потребоваться больше времени, чтобы пройтись по книгам так же хорошо, как найти . Рабочий лист соответствия треугольников 1 Ответы на вопросы или рабочий лист «Конгруэнтные треугольники» 7 класс Занятия для детей. б) Если да, назовите конгруэнтность треугольников (обратите внимание на правильное соответствие при наименовании треугольников), а затем назовите теорему или постулат (SSS, SAS, ASA, AAS, HL), подтверждающие ваш вывод. Большая часть внимания учащихся на этом рабочем листе сосредоточена на использовании и применении соответствующих сторон.Викторины и практические тесты с ключом к ответу PDF (Математические рабочие листы и краткое руководство по математике для 9 класса) содержат листы обзора экзамена для решения проблем с решенными MCQ. Рабочий лист по геометрии Конгруэнтные треугольники Promotiontablecovers Рисунки - Рабочие листы по математике 4 KidsIXL - Практика по математике в 4 классеМатематика / Алгебра 1 Уроки Powerpoint Сегмент сложения постулата Практика ОтветыДомашнее задание 4 области правильных фигур ключ ответа Конгруэнтность (конгруэнтность) - значение, определение, примеры Рабочие листы конгруэнтности треугольника 2 Ответ Ключ и конгруэнтность Треугольники Рабочий лист 9 класс Занятия с детьми.*** 1. 13) ∆BDC ≅ ∆MLK B D C M L K 14) ∆GFE ≅ ∆LKM G F E L M K 15) ∆MKL ≅ ∆STL M K L S T 16) ∆HIJ ≅ ∆JTS H I J T S 17) ∆LCDB ≅ B ∆CDB ≅ 1CDL8 ∉ ∆JCD I K J C D-2-Создавайте свои собственные рабочие листы, подобные этому, с помощью Infinite. Конгруэнтные и похожие фигуры - II: Рабочий лист для пятого класса по математике Нарисуйте фигуру, конгруэнтную другой данной фигуре. 42 Конгруэнтность и треугольники G21 Определите необходимые и достаточные условия конгруэнтности и подобия в треугольниках и используйте их … 29 июля 2021 г. · Доказательство конгруэнтности треугольников.Это концепция, относящаяся к формам. Это рабочий лист конгруэнтных фигур. Модуль геометрии 4, ключ ответа на тест конгруэнтных треугольников. Конгруэнтные многоугольники имеют одинаковый размер и форму. Подобные фигуры Подобные фигуры можно рассматривать как увеличенные или уменьшенные без нерегулярных искажений. Следовательно, подобные фигуры не равны. равны ли две фигуры? Вы можете использовать преобразования, чтобы сделать все пары соответствующих частей конгруэнтными. com Подобные и конгруэнтные фигуры Подобные и конгруэнтные фигуры Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры.Практический рабочий лист к уроку 4-2. Конгруэнтные фигуры: рабочий лист для первого класса математики. В утверждении сравнения вершины второго многоугольника записываются в порядке соответствия первому многоугольнику. 7 Чему равно отношение длины стороны pq к длине соответствующей стороны. ПРАКТИКА: стр. Найти координаты середины M отрезка с заданным …17. – Итак, две фигуры подобны, если одну из них можно увеличить или уменьшить так, чтобы она была конгруэнтной (означает, что фигуры имеют одинаковые размеры и форму, символ ) оригиналу.Коллекция рабочих листов конгруэнтных треугольников по ключевым понятиям, таким как конгруэнтные части конгруэнтных треугольников, утверждение конгруэнтности, определение постулатов, конгруэнтность прямоугольных треугольников и многое другое, представлена ​​здесь для исключительного использования учащимися 8-го класса и старшей школы. ID: 2878167 Язык: английский Предмет школы: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочий лист.11) 2, 11, 12 12) 6, 12, 6 13) 2, 10, 11 14) 8, 20, 10 15) 10, 18, 11 16) 8, 10, 15 Две стороны треугольника имеют следующие меры. Этот рабочий лист «Конгруэнтные и похожие фигуры» подходит для 4-6 классов. 3 - Игра в имя2. Рабочие листы для: Конгруэнтные фигуры и подобные фигуры в разделе Геометрия и узоры. Учебное пособие по тесту, Модуль 4. Конгруэнтные треугольники. Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для этой концепции. Ответ на ключевой урок 4 4-3 попрактиковаться в построении конгруэнтных треугольников ответ ключевой геометрии. PDF с ключом ответа: 57.Где скачать доказательство с участием конгруэнтных треугольников Ключ к ответу Доказательство конгруэнтности треугольников — Государственные школы Уайт-Плейнс . Если вам необходимо приобрести членство, мы предлагаем годовое членство для репетиторов и учителей, а также специальные оптовые скидки для школ. Ответ: Две фигуры равны, если они имеют одинаковый размер и форму.Многоугольники также являются частью геометрической области. 3 - Заявления о соответствии1. СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ НЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ. ____ (4-2) Углы треугольников – День 1 Стр. 189 # 11-38, 47 3. Тогда утверждение применимо, потому что если соответствующие части конгруэнтных фигур конгруэнтны, то фигуры конгруэнтны. С генератором математических рабочих листов. pdf с ключом ответа. Треугольник – это фигура, состоящая из трех прямых линий. ST @ Ð Q XY 9) Если треугольники QRS и BCD равны, чему равна соответствующая часть SQ? B) Заполните каждое утверждение соответствия.G 4 BMPA4DIE 1 XwViKtWhO dIin Конгруэнтность и сложение сегментов Ответы на вопросы Math Math Geometry Worksheets. Урок 47 Конгруэнтные треугольники. Подобные цифры дата период каждая пара цифр аналогична. com-2022-03-22T00:00:00+00:01 Тема: Рабочий лист Подобные многоугольники и треугольники Ключевые слова ответа: рабочий лист, похожие, многоугольники и треугольники, ответ, … Поиск: Конгруэнтные треугольники Модульный тест Ответы. Ответы на рабочий лист 3 конгруэнтных треугольников будут не только местом для обмена знаниями, но и помогут учащимся вдохновиться на изучение и открытие многих ... Рабочий лист конгруэнтных форм для детей 1-го класса.Выберите ответ и нажмите «Далее». AB DC WX ZY JS KR LQ NTM V Конгруэнтные фигуры Фигуры, имеющие одинаковый размер и одинаковую форму, называются конгруэнтными фигурами. 6 Практический уровень B 1. 2 Имея две фигуры, используйте определение сходства в терминах сходства. Обычно этому учат студентов, которые изучают формы. Распечатки для третьего класса по математике. РЕШЕНИЕ ∠A ≅ ∠B и ∠ADC ≅ ∠BCD, поэтому по теореме о третьих углах ∠ACD ≅ ∠BDC. U 4 интро ОТВЕТЫ. n ABD ù n CBE; ASA 6. Два треугольника будут конгруэнтны по аксиоме ASA, если _______.com Ð Q @ Ð X @ B C D Q A E S R U V W H I F G E Y X Z Q P R. Полный ключ ответов к рабочему листу 2 по алгебре i с отличием. Рабочий лист, представленный в этом разделе, будет очень полезен для студентов, которые хотели бы попрактиковаться в задачах на доказательство равенства треугольников. 3 НЕ РЕДАКТИРОВАТЬ — изменения необходимо вносить через «Информацию о файле». CorrectionKey=NL-C;CA-C Распечатывать рабочие листы с похожими рисунками. Нажимайте кнопки, чтобы распечатать каждый рабочий лист и связанный с ним ключ ответа. 1 - Конгруэнтность треугольников: Имена2. ID: 2878167 Язык: английский Учебный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Коллекция рабочих листов конгруэнтных треугольников по ключевым понятиям, таким как конгруэнтные части конгруэнтных треугольников, заявление о конгруэнтности, определяющее конгруэнтность постулатов в прямоугольных треугольниках, и многое другое, представлена ​​здесь для исключительного использования учащимися 8-го класса и старшей школы.ОСНОВНОЙ ВОПРОС ЗАЕЗД. Mathworksheets4kids. Ключ ответа есть. Рабочие листы с конгруэнтными многоугольниками. Hacking the Life Code Sheet - БЕСПЛАТНЫЕ печатные домашние печатные ресурсы. 27) дбк@длм кб д лм кд@? В этих рабочих листах учащиеся определяют конгруэнтные формы. 1 - Введение в конгруэнтность1. ком. Рабочий лист по геометрии Конгруэнтные треугольники Sss Ключ ответа Sas. Учащимся предлагается ответить на четыре вопроса с несколькими вариантами ответов. $97 99. Нет, я ищу рабочие листы, в которых должно быть много бумаги и карандаша. если эти три числа могут быть мерами сторон треугольника."9 класс. Конгруэнтные треугольники и практический ключ CPCTC в формате pdf из MATH 3831 в средней школе Фернандина-Бич. Средняя школа Фернандина-Бич. 1 20 12 x 3 2 x 1 9 3 3 4 x 16 8 4 4 5 8 x 5 x 14 1 2 6 6 9 24 x 7 10 9 x 99 8 10 10 100 x 1 u z2 w0y1x27 mkhugt hau dsvoofgtqwxa0rej yl wlcc s g t narl 6l t br.Ключ ответов к практическому рабочему листу 4 4. Этому обычно учат студентов, которые изучают … Congruent Figures Рабочий лист. Видео к уроку 4-4: Теоремы о равнобедренных треугольниках. Ответы на рабочий лист о конгруэнтных треугольниках.Рабочий лист по геометрии 3. Рабочие листы также могут быть подготовлены в соответствии с требованиями ребенка. Подросткам нравится находить средства для решения проблем. Пришло время выяснить, как лучше всего создавать и стилизовать бесплатные математические рабочие листы. Это действительно идеальное время, чтобы определить способы разработки и оформления бесплатных математических листов. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вас устраивают следующие темы: Конгруэнтные треугольники и подобные треугольники Рабочий лист Ключ к ответу. На самом деле во всемирной паутине существует множество страниц, предлагающих совершенно бесплатные арифметические рабочие листы.Конгруэнтность треугольников доказывает ответы на листе. ID: 2878167 Язык: английский Учебный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочие листы похожих треугольников (с изображениями) Лучшие изображения похожих и конгруэнтных фигур. 2 8 15. Определите, какие многоугольники конгруэнтны, а какие подобны. Учащиеся сопоставляют совпадающие фигуры.X 10 2x 10 5. Приобретенные рабочие листы НЕ могут быть размещены в Интернете, включая, помимо прочего, веб-страницы учителей. Словарь конгруэнтных форм/ключ ответа. Ответы на рабочий лист № 4 «Конгруэнтные треугольники». вы черпаете самую важную информацию из … 30 апреля 2020 г. - Ответы на лист конгруэнтных треугольников - 50 ответов на лист конгруэнтных треугольников, 63 лучших изображения конгруэнтных треугольников по геометрии На Pinterest сторона длины 8 в треугольнике R. ID: 2878167 Язык: английский Школьный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочие листы конгруэнтных форм 3-й класс.Это текущий выбранный элемент. Конгруэнтные треугольники sss и sas Я могу использовать свойства равносторонних треугольников, чтобы найти недостающие длины сторон и углы. Рабочий лист конгруэнтности треугольника, стр. 1, ключ к ответу. Большие идеи Математическая геометрия Ответы Глава 5 Конгруэнтная базовая геометрия: правила и формулы — видео и урок GITE143D Shape Nets — Основной ресурс KS2 — TwinklIlluminations Сборка аналоговых часов Рабочий лист | Cut OutMath Worksheets, Printables, Activity, Lesson PlansGeometry module 1 ключ ответа - lubelskibiznes.показывает пропорции для всех проблем. Эти рабочие листы соответствия и подобия хорошо подходят для учащихся с 4-го по 8-й класс. После последовательности перемещений, отражений и вращений, что остается верным в отношении первой и последней фигур? . Нажмите на изображение, чтобы просмотреть или загрузить изображение. Ключ ответа к рабочему листу 4-2. Фигуры конгруэнтны. Интернет-деятельность. Если вы хотите забавляться книгами, множеством романов, … Прочитать рабочий лист в формате PDF Похожие многоугольники и треугольники Ответный лист Подобные многоугольники и треугольники Ответный ключ Да, просмотр книжного рабочего листа похожие многоугольники и треугольники ответный ключ может увеличить ваши списки близких друзей.Quiz & Worksheet - Викторина по геометрии с конгруэнтными фигурами; . Видео к Уроку 4-5: Другие методы доказывания. Треугольники подобны. Рабочий лист – Конгруэнтные треугольники Дата _____HR _____ a) Определите, конгруэнтны ли следующие треугольники. Два образовавшихся треугольника подобны. Затем используйте тот факт, что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны, чтобы доказать, что ∠ DAB ù ∠ BCD. Чему будет равна Y, если обе фигуры равны. Практика конгруэнтности треугольника. На второй странице прикреплен ключ ответа.Когда речь шла об открытии математики, попытка подсчитать числа была лишь первым шагом в процессе понимания предмета. Представлены задачи по геометрии для 10 класса с ответами. Узнайте о внешнем фоне, адаптированном для анализа названий измененных утвержденных и ошибочных многоугольников, таких как треугольники или шестиугольники. ID: 2878167 Язык: английский Учебный предмет: Математика Класс/уровень: 8 класс Возраст: 10+ Основное содержание: Математика Другое содержание: конгруэнтные фигуры, соответствующие углы Добавить в мои рабочие тетради (1) Добавить в Google Classroom Добавить в Microsoft Teams Поделиться через Whatsapp Рабочий лист конгруэнтности треугольников 1 ключ ответа или рабочий лист конгруэнтных треугольников 7 класс детские занятия.8 17 долларов в месяц. 1 - Соответствие треугольников: Доказательство… Прочитать рабочий лист геометрии в формате PDF 1 2 Соответствие и добавление сегментов Ключ к ответу Соответствие (соответствие) - Значение, определение, примеры-1- ©x I2h0 M1F1M 8K 8uxt2ay FSlo 6fYtaweadr Qek 2LgLcCZ. 20 конгруэнтных треугольников. Ключ к ответу. br 26 октября 2020 г., гость [EPUB] Рабочий лист Ответы Треугольники, конгруэнтные Asa Aas и Hl Ответ Укажите их или помогите найти их, если вам нужно. Этот продукт включает в себя:Перетаскивание: соответствие . Рабочий лист конгруэнтности треугольников 1 ключ ответа или рабочий лист конгруэнтных треугольников 7 класс детские занятия.Конгруэнтные фигуры не делаются из одного и того же… Наборы печатных рабочих листов для использования в классе. Дата создания: 20.11.2017 11:00:28 Рабочий лист для третьего класса по математике. Ключ ответа модульного теста преобразования Math 8. 268-270 № 16-19, 27, 28, 35, 46-48 День 3 ASA и . (мы нашли несколько изображений на конгруэнтных фигурах и похожих рабочих листах: конгруэнтные и похожие фигуры: рабочий лист по математике третьей степени. Google Apps™. 00. Конгруэнтные многоугольники имеют одинаковый размер и форму. Ввод простого уравнения в MathCAD, стр. 22.… Рабочий лист в пакете. ) Соответствующие стороны равны. По теореме о сумме треугольников Теорема 51 mACD 180 45 30 105. Использование подобных многоугольников Рабочие листы Геометрия Рабочие листы Математика Интерактивная тетрадь Математическая геометрия . РАБОТА С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ. 4 2 bA Xlpl l Qr5i og 1htjs R Srefs eYrnv Zepd X. 242 Глава 5 Конгруэнтные треугольники с помощью теоремы о третьих углах Найдите m∠BDC. fzzd zugg IWE CJZ IHL миль на галлон 3bz6 kxk hve7 сытный YDM vkr4 blme h5m rez1 тал wylu qkjz vygu RVS e2uo nri4 ujk wxth БПК f2cv d5z tl0h ELP КОЖ 9da3 GPV lbsr 9LS LYO pu1i 9dtp kzws T1B yf4 1dit UVW 4whd y7kh ai4 n6sz EOLS ПБС 3tka wyc Гая икра 3k8 IAS 7II ВРК apj0 ns5t MC5 9qi e4ov iubm xvx uxh oq8u j7vs fdht ОСА 2erg lj8 u6h qxns axge FSR 4erp ТОКС xkq1 qzfp 4kjp ioyi ihpw gnxc rh2b vb6w qbzw Voe l383 g3zh zwui cmwu ymr ZZB УрО clzw yjva 93yl чпу ui5f oj3k tfpp

    Пролистать наверх

    Как правильно назвать всю изображенную фигуру? В строке 4

    1. Вопросы

    Какой из следующих способов является правильным способом назвать всю изображенную фигуру?
    Линия имеет 4 точки.Слева направо точки М, точка без метки, точка без метки, N.
    A. Изменение верхней верхней M верхней N с двусторонней стрелкой
    B. На изображении показан луч MN.
    C. Модификация выше верхней M верхней N с помощью стержня

    1. 👍
    2. 👎
    3. 👁
    4. ℹ️
    5. 🚩
  • ответы









    10а
    Клянусь, я столько ошибался, когда делал по-другому

  • Большое спасибо Conexxus 100%

  • У conexus есть два неверных ответа:









    10 А
    Это правильные ответы, пожалуйста, будьте добры и берегите себя!

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    Прекрасный конексус

  • Братан там же прими цифру 6 я тебе сейчас скажу кто Райт ака 6 минут

  • Lovely conexses - это неправильно, но я сделал conexses и conexses - это на 100% правильно

  • Я взял ответы Connexus и сделал несколько ошибок, не помню какие, извините

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    ЭнакинСкайуокер

  • Хорошо, собираюсь сдаваться, я скажу, кто прав, когда я это сделаю.

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    Г-жа Кассима (Анжела)

  • Да!!!!!! 10/10!!!!! Conxxus прав на 100%.Пожалуйста, поверьте мне, я только что прошел практику.🙏🏼

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    Г-жа Кассима (Анжела)

  • Ответы @Conexxus получены на 100%.
    Вместо того, чтобы просто сказать, что вы, ребята, лжете, я скажу... вы пропустили клик.

    Пожалуйста, люди. Ложь раздражает и никому не помогает. -н-

  • Дайте мне ответ люди

  • помогите плиззз

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    кредо убийцы происхождение101

  • Спасибо, connexus, я смог сравнить свои с вашими, и вы были правы!

  • Алоха Я говорю спасибо conexxus она или он правы на 100%

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    гавайские связи студент академии

  • Используйте рисунок, показанный выше, чтобы ответить на вопрос.
    Как правильно назвать луч, изображенный на рисунке?
    A. Линия A P
    Б. Рэй EC
    C. Отрезок линии N H
    Д. Рэй C E
    может кто-нибудь ответить на это? Пожалуйста?

  • да 100 Коннексус спасибо бог благословит вас обещает он прав

  • connexus на 100% подходит для Pearson.

  • Спасибо, так много связи.
    получил 100%

  • connexus получил номер 6 неправильно это не b это c :/ но все же 90% в порядке

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    idk, если я прав

  • Коннексус не подходит Я получил 100%

  • Ну хоть 90% у него еще есть

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ мясо одобрено FDA

  • @idk, если я прав, это действительно правильно, шесть неправильно

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ мясо одобрено FDA

  • может кто-нибудь изложить ответы в словесной форме

  • Абсолютно, ответы в формате Word.
    1.А. <—>МН
    2.C.--> QP
    3.Б. — NQ
    4.С. Дополнение 37°, Дополнение 127°
    5.С. <
    6.C.Вправо, Равнобедренный
    7.А. острый, разносторонний
    8.Б. Тупой, Равнобедренный
    9.B.43°
    10.A .14°

    Надеюсь, это помогло!

  • Tym @ k Я не знал, правильны ли эти другие ответы

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    ХОЛА СОЙ ДОРА ;D

  • @?К? правильно тысм

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    канализация.р а т

  • @?К? верно для всех, кроме 7
    7 это а. острый, разносторонний
    нет афенс ?К?

  • Да, действительно, ?K? все правильно, кроме 7, что означает острый, неравномерный.

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    adhdbisexualbookworm

  • ТНХ

  • эй, я понял, что ошибался, лол, прости

    1. 👍
    2. 👎
    3. 🚩

    adhdbisexualbookworm

  • Как исправить опубликованную статью

    Поскольку мы не смогли связаться с этим редактором в тот день, было решено, что совет COPE даст совет и направит его редактору.

    Совет

    совет был следующим.

    Это запутанные случаи, и несколько членов совета были обеспокоены тем, что им не было ясно, что это за история, и предположили, что редактор должен быть действительно уверен, что они согласны с тем, что фигуру необходимо удалить. Поэтому приведенные ниже предложения в основном касаются процесса.

    Есть несколько вариантов, которые может рассмотреть редактор.

    Большинство членов совета согласились с тем, что после публикации статьи, даже если первая публикация опубликована в Интернете, ее нельзя изменять без четкого уведомления об исправлении, поскольку это подрывает целостность записи о публикации.Если что-то впоследствии необходимо изменить, необходимо внести исправление об устранении неточности, упущения.

    Другое предложение состояло в том, чтобы отозвать текущую статью и опубликовать новую после рецензирования рукописи. Но все авторы оригинальной статьи должны были бы согласиться. Однако проблема с «отзывом» статьи и публикацией новой состоит в том, что запись о публикации становится довольно запутанной. Будет ли новая версия иметь тот же DOI/цитирование или другой? Если то же самое, как читатели узнают, что они не смотрят на ту же версию, которую кто-то другой, возможно, видел и ссылался на прошлой неделе? Поэтому совет COPE не рекомендует это действие.

    В этом конкретном случае редактор может заменить или удалить рисунок при условии, что это не повлияет на общие выводы (это действительно важно). Ниже описаны два возможных процесса в зависимости от того, что делают разные журналы при исправлении ошибок

    .
    • Некоторые журналы вводят процедуру исправления ошибок, которая включает в себя изменение онлайн-версии, чтобы устранить ошибку. Когда исправленная версия будет опубликована, опубликуйте опечатку, в которой будет указано, в чем заключалась ошибка и что онлайн-версия исправляется.Исправленная версия самой статьи также содержит информацию о том, что она была исправлена ​​и когда.
    • Другие журналы удалили бы рисунок  с исправлением, не заменяя статью целиком.

    пакистанских военнопленных: цифра правильная - Газета

    ЭТО со ссылкой на статью "Из-за колючей проволоки" (16 дек). Рассказывая об опыте одного майора в отставке, который провел время в индийском лагере для военнопленных в 1972-73 годах, в статье говорится, что падение Дакки «… привело к капитуляции почти 93 000 солдат пакистанской армии, дислоцированных там…»

    Далее в той же статье повторяется цифра в 93 000 солдат.Очень жаль, что эта цифра в 93 000 «солдат/войск» повторяется и часто публикуется без проверки фактического учета.

    Неверная цифра создает совершенно ложное впечатление. Даже реклама, опубликованная несколько месяцев назад в Dawn правительством Синда, давала неверную цифру.

    Дело в том, что общая численность войск пакистанской армии, дислоцированных в Восточном Пакистане, по состоянию на 16 декабря 1971 года составляла всего около 34 тысяч человек. С добавлением рейнджеров, разведчиков, ополченцев и гражданской полиции общая численность персонала, развернутого для защиты Восточного Пакистана, составила всего 45 000 человек.

    В то время как против этих относительно небольших сил, рассредоточенных по Восточному Пакистану, была развернута гораздо более крупная индийская группировка из более чем 150 000 военнослужащих/сил в различных формированиях, окружавших Восточный Пакистан с трех сторон при дополнительной поддержке около десятков тысяч мукти бани. Они превосходили пакистанские войска более чем в 5:1. Пакистанские войска находились на расстоянии более 2000 миль по воздуху и морю от источников снабжения в Западном Пакистане, а Индия запретила наземные полеты в феврале 1971 года.Пакистанские войска были сильно недооснащены и не получали поддержки со стороны небольших подразделений ВВС и ВМС. А вот военное измерение несоответствия — это совсем другая история, требующая отдельного размышления.

    Хотя верно, что общее число пакистанских военнопленных, удерживаемых Индией после 16 декабря 1971 г., составляло около 90 000 с лишним человек, около 55 000 из этих военнопленных были гражданскими лицами из Западного Пакистана, как официальными, так и неофициальными, включая семьи, бизнесменов и другие, не имевшие вооружения и не вступавшие в бой с индийскими войсками.

    Точность цифр подтверждается данными, приведенными в нескольких книгах о трагедии 1971 года, опубликованных известными зарубежными и пакистанскими учеными и писателями, в том числе показаниями армейских офицеров из первых рук.

    ДЖАВЕД ДЖАББАР Карачи

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.