Монти холла парадокс: Простейшее объяснение парадокса Монти Холла | by Андрей Шагин | NOP::Nuances of Programming

Содержание

Простейшее объяснение парадокса Монти Холла | by Андрей Шагин | NOP::Nuances of Programming

Парадокс Монти Холла — это одна из тех математических задач, над решением которой уже долгое время бьются многие умы, и даже всемирно известных математиков она приводит в затруднение. Хотя идея, лежащая в основе этого парадокса, предельно ясна и понятна. Задача эта, строго говоря, и не парадокс вовсе, но называется так из-за неочевидности и парадоксальности предлагаемых решений и объяснений, которые становятся поводом для самых жарких дискуссий в Интернете. Их накал уступает, пожалуй, лишь спорам из-за оптической иллюзии так называемого «платья раздора» и аудиоиллюзии «Янни и Лорел». Предлагаемое здесь объяснение призвано раз и навсегда развеять все связанные с этим парадоксом вопросы и очень доходчиво разъяснить всем интересующимся его суть.

Парадокс впервые был сформулирован американским математиком Стивом Селвином ещё в 1975 году, но широкую известность он приобрёл благодаря популярному игровому шоу «Давайте заключим сделку». В честь ведущего этой телевикторины, которого звали Монти Холл, парадокс и получил своё название.

В чём же суть парадокса Монти Холла?

Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.

Казалось бы, ничего сложного. Но, как говорилось в одном фильме: «Если бы задача так просто решалась, то армянское радио этим бы не занималось». В своей передаче, после того как участник выбирал дверь, Монти всегда открывал одну из дверей с козой и предлагал ему поменять свой выбор. А вы поменяли бы или нет?

Этот вопрос многих ставит в тупик. Люди обычно думают: «Ну какая разница: остались две двери, и машина может с одинаковой вероятностью 50% оказаться как за одной, так и за другой дверью?». … И оказываются неправы. Правильный ответ — всегда менять первоначальный выбор. Поступая так, вы удваиваете свои шансы на победу.

Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.

Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.

Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.

Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.

Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.

Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.

Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!

Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.

Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?

Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):

Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.

Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.

Читайте также:

Читайте нас в телеграмме, vk и Яндекс.Дзен

Снова про Монти Холла или статистика как коллективная интуиция / Хабр

На примере парадокса Монти Холла посмотрим, что общего между статистикой и интуицией, и как визуализация данных может помочь принять правильное решение, основанное на статистической оценке.



Парадокс Монти Холла получил свое название от ведущего телевизионного шоу «Let’s Make a Deal». Игровая ситуация:


Перед игроком три двери, за одной из которых приз. Игрок выбирает одну из них, не открывая. После этого ведущий, открывает одну из двух оставшихся дверей. Ведущий знает, за какой из дверей приз, и всегда открывает дверь, за которой приза нет. Далее игроку предлагается поменять первоначально выбранную дверь на другую, остающуюся закрытой. Вопрос: повышаются ли шансы игрока при изменении выбранной двери?

Парадокс заключается в том, что интуитивно кажется, что смена двери ничего не дает. Приз либо за одной дверью, либо за другой. Ситуация симметричная, и вероятности одинаковы. Однако, теория вероятностей показывает, что смена двери повышает шансы выигрыша в два раза.

Чтобы прийти к статистически правильному решению, игрок должен:


  1. Мысленно перейти от выбора одной из двух дверей к выбору одной из двух стратегий: «stay» (оставить изначально выбранную дверь) и «switch» (сменить дверь на другую).
  2. Построить статистическую модель игровой ситуации и оценить обе стратегии.
  3. На основании статистических оценок отказаться от первоначально выбранной двери.

Первый шаг ключевой. Если остаться на уровне выбора дверей, то ничего не получится, ведь приз, так или иначе, за одной из двух дверей. А они выглядят одинаково — ситуация как будто симметричная. Можно не менять дверь и выиграть, можно поменять дверь и проиграть. Возможно, смена двери повышает шансы на успех, но не гарантирует его. Делая первый шаг, игрок не должен путать «повышение шансов» и «гарантированный выигрыш».

Второй шаг еще сложнее: построить и применить статистическую модель задачи. Цепочка рассуждений может быть такой.

Сначала игрок делает выбор одной из трех дверей. По условию приз размещен за любой из них с одинаковой вероятностью. На первом шаге вероятность выбора приза равна 1/3. На рисунке ниже изображено дерево решений после первоначального выбора игрока. Дверь, за которой приз, закрашена:

Дальше ведущий открывает одну из дверей, не выбранных игроком. Игроку кажется, что ведущий выбирает дверь, которую открыть. Однако, это не всегда так. Поведение ведущего обусловлено первым выбором игрока:


  • Если игрок сразу выбрал дверь с призом, то ведущий может выбрать любую из двух закрытых. Ни за одной из них приза нет.
  • Если игрок выбрал дверь без приза, то ведущий всегда открывает одну дверь. Дверь, за которой приз, ведущий открыть не может по условиям игры.

Вероятность того, что приз за дверью, которую ведущий оставил закрытой, рассчитывается по формуле условной вероятности. И эти вероятности различаются для разных исходов, как показывает дерево решений. Закрытые двери, за которыми приз, закрашены:

Игрок суммирует вероятности по каждой стратегии и получает их статистическую оценку. На рисунке видно, что вероятность выигрыша при смене двери (стратегия «switch») в два раза выше:

После того, как стратегии оценены, игрок должен отказаться от первоначального выбора. Это сложно само по себе. Игрок будет стремится сохранить первоначальный выбор, так как это проще. Например, потенциальный покупатель гораздо вероятнее не будет отключать по умолчанию включенную услугу, нежели включит ее. В общем случае это приводит к систематическому отклонению поведения игроков от рационального.


Проблемы, связанные с применением статистического мышления и рационального мышления вообще рассматриваются в книге Дэвида Канемана «Думай медленно, решай быстро». Исследования Канемана и его коллег показали, что человек склонен ошибаться в ситуациях, если нужно провести даже простые математические расчеты, не говоря уже об оценке вероятности.

Канеман вводит понятие двух систем. Система 1 это «быстрое», интуитивное, эвристическое мышление. Им человек пользуется, например, для определения настроения по выражению лица или при оценке дорожной ситуации, когда ведет автомобиль. Система 1 это автоматическая, почти мгновенная реакция, и работает в большинстве повседневных ситуаций.

Система 2 — «медленное», рациональное, математическое и статистическое мышление. Эта система подключается с усилием. Человек должен осознать, что автоматическое решение неправильное, задуматься и провести расчеты.

Ключевая проблема заключается в том, что в ситуации, где требуется подумать, человек полагается на автоматическое решение, предлагаемое системой 1. А эта система делает выводы, в первую очередь, на основании похожести вариантов. В парадоксе Монти Холла, после того, как ведущий открыл одну из дверей, две оставшихся выглядят одинаково, а обусловленное поведение ведущего старательно замаскировано. Ситуация представляется симметричной, а вероятности одинаковыми. Системе 1 не за что зацепиться, чтобы заметить вероятностную асимметрию. А системе 2 некогда подключиться. Тем более, что ведущий разными способами старается сбить игрока с толку.

Система 1 тренируется на многократном повторении ситуаций, доводя выбор до автоматизма (распознавание лиц, вождение автомобиля). Человек видит

похожую ситуацию, что-то, что ему знакомо, и делает выбор, который ранее был успешен в аналогичных ситуациях.

Система 2 подразумевает, что человек начинает анализировать ситуацию, чтобы принять решение. В случае со статистическими задачами правильный ответ не очевиден. Чтобы к нему прийти, человек должен проанализировать данные, произвести расчеты и выбрать наибольшие значения статистических показателей.


Основная идея Дэвида Канемана в том, что система 1 (интуитивная) и система 2 (рациональная) различаются. В общем случае так и есть, однако, применительно к статистике между ними есть сходство.

Предположим, что все участники шоу Монти Холла собрались, чтобы обсудить результаты участия в шоу. Собравшиеся разбились на две группы: тех, кто остался с первоначально выбранной дверью и тех, кто поменял дверь. Согласно статистике, подсчет участников и их результатов покажет, что те участники, которые меняли дверь, выигрывали чаще. Если участников в обеих группах много, то доля победителей в группе сменивших дверь, будет примерно в два раза выше, чем в другой.

Достаточное количество участников, при котором будет видна статистическая закономерность, определяется законом больших чисел. Чем больше игроков примет участие в собрании, тем более результаты подсчетов их успехов и неудач будут соответствовать теоретическим. Другими словами, статистика начинает работать, когда игра была повторена разными участниками много раз. Если бы такое сообщество игроков существовало, то со временем они бы пришли к правильной стратегии.

Таким образом, в статистических расчетах система 2 опирается на закон больших чисел — достаточно большое (в идеале бесконечное) количество испытаний. Но и системе 1 большое количество испытаний позволяет принимать правильные решения. Многократное повторение доводит ту или иную способность человека до автоматизма.

Правила для двух систем:


  • Система 1: это было правильно для меня много раз в похожих случаях, поэтому будет верно и сейчас.
  • Система 2: это было правильно для многих других людей в похожих случаях, поэтому будет верно и сейчас.

Можно сказать, что расчет вероятности отражает коллективный опыт всех реальных и возможных участников игры Монти Холла. Для ситуаций индивидуального выбора стратегий статистика выступает как коллективная интуиция. Остается сделать статистику наглядной при помощи подходящей визуализации.


На примере парадокса Монти Холла мы смоделировали выбор человеком правильной стратегии с привлечением статистических расчетов. В общем случае:


  • Стратегий может быть больше, чем две.
  • Теоретические расчеты вероятности могут отсутствовать или требовать проверки. Тогда придется испытывать все стратегии и определять частотную вероятность для каждой.
  • Внешне различные варианты могут никак не отличаться (двери в игре Монти Холла выглядят одинаково — визуальная симметрия).

Если поставить задачу помочь выиграть игроку, а не сбить его с толку, как на шоу, то в визуализации данных или пользовательском интерфейсе можно дополнить «двери», между которыми выбирает «игрок», диаграммами-шкалами. На такой диаграмме шкала задает градации изменения величины, и на шкалу накладывается столбик фактического значения по аналогии с термометром.

На диаграмме-шкале удобно совместить теоретическое, ожидаемое количество выигрышей (выделено серым) и фактическое после всех предыдущих игр (узкий черный столбик). Фактическое значение меняется после каждого принятого решения по выбору одной из двух стратегий и сохраняется на протяжении всей серии игр:

Таким образом, подходящая визуализация статистических данных помогает человеку выбрать правильную стратегию. Например, в интерфейсе, похожем на прототип, элемент интерфейса, соответствующий стратегии, может быть помечен статистическим виджетом, похожим на диаграмму-шкалу. Изображение фактических данных полезно, если пользователь выбирает между примерно одинаково успешными стратегиями. Оно позволяет ему быстро прийти к заключению:

Похоже, чаще успешно



  • Человек склонен игнорировать или неправильно использовать расчет вероятности и статистику при выборе стратегии.
  • Статистику можно рассматривать как коллективную интуицию — многократные успешные исходы испытаний других людей.
  • Если статистические данные корректно визуализировать, то это повысит эффективность выбора стратегии человеком.

Ссылки


404

☰ Оглавление

  • Первая страница
  • Онлайн инструменты ▽
    • Редактор иконок favicon.ico онлайн
    • Игра «Жизнь» онлайн
    • Онлайн навигатор по множеству (фракталу) Мандельброта
    • Онлайн конвертер PNG в favicon.ico
    • Интерактивная схема солнечной системы
    • Пересчёт дат в Юлианские дни
    • Объяснение и онлайн-демо, как работает HTML5 canvas transform
    • Онлайн генератор периодических фонов
    • Онлайн конвертер цветов из HSV в RGB
    • Онлайн URL-перекодировщик
    • Онлайн генератор QR-кодов
    • Покрутить 4D-гиперкуб
    • Получение географических координат точки на карте
    • «Сапёр» на бесконечном поле онлайн
    • Черепаший язык онлайн
    • Калькулятор индекса массы тела
    • Для самых маленьких ▽
      • Рисовалка для детей до трёх лет
      • «Робот» для детей с трёх-четырёх лет
      • «Морской бой» для самых маленьких
    • Простой чат
  • Инструменты ▽
    • Docker ▽
      • Docker устанавливаем и разбираемся
      • Пример использования Docker для изучения Ruby on Rails
      • Пример использования Docker для запуска MySQL
      • Почему docker требует root-прав
    • JavaScript ▽
      • Букмарклеты для JavaSctipt/HTML-разработчика
      • Использование «use strict» в JavaScript
      • Небольшая памятка по JavaScript
      • Простой минификатор/оптимизатор JavaScript
      • Мои плагины для хрома
    • Python ▽
      • Сводная таблица методов основных типов данных Python 2 и 3
      • Инструменты для Python-разработчика
      • Удобная командная строка Python
      • Утечки памяти в Python: метод __del__ и сборка мусора
      • Работа с нитями в Python
    • Файловая система ▽
      • FS: перемещение, переименование, архивирование
      • Монтирование sshfs с помощью systemd
    • Shell ▽
      • Работа с историей команд bash
      • Консоль/bash. настройка
      • Отправка e-mail с картинками чистым shell скриптом
      • Конвертирование аудио
      • Конвертирование видео
    • Управляем тактовой частотой процессора
    • Совместный доступ к mercurial по SSH
    • Передача файлов по сети
    • Безопасное хранение и передача данных
    • Нотификатор
    • Xorg. Настройка
    • Xorg. Настройка нестандартной клавиатуры
    • Synergy: Много мониторов с одной клавиатурой и мышкой
    • Ssh. Настройка
    • Ssh. Настройка туннелирования через NAT и firewall
    • Pidgin для хакеров
    • Печать
    • USB-Flash. монтирование
    • Доступ к данным по MTP
    • Настройка aspell
    • Iptables. Port knocking
    • Sudo, sudoers, visudo
    • Swap в файле в Linux
    • Добрый kill (gdb)
    • Изменить размер tmp (tmpfs)
    • Установка Arch Linux на USB-Flash
    • Эмуляция в QEMU
    • GRUB2 вручную
    • Системные утилиты
    • Настройка редактора vi
    • Краткое руководство по vi
    • HTML-валидатор
    • VDS/VPS
      • Начальная настройка
      • Сборка nginx
      • Настройка nginx
      • Сборка uWSGI (Django+CGI)
      • Настройка uWSGI
    • Управление сетью в Ubuntu с помощью netctl (Arch Linux)
    • Настройка WiFi точки доступа под Linux
  • CS: Искусственный интеллект ▽
    • Метрики в машинном обучении: precision, recall и не только
    • Оценка точности классификатора
    • Нейронные сети на простейших примерах
      • Что такое нейрон (очень коротко)
      • Пример задачи и демонстрация, как нейрон её решает
      • Пример обучения нейрона
      • Что осталось за сценой в задаче для одного нейрона
    • Деревья принятия решений
    • Байесовское машинное обучение
    • Примеры кода numpy, scipy, matplotlib
      • Метод наименьших квадратов
      • Построение системы рекомендаций, на основе текстов
      • Диффузионные реакции (реакции с диффузией)
  • CS: Разное ▽
    • RSA-шифрование на пальцах
    • SQRT-декомпозиция
    • О пользе рекурсии
    • Дискретная бисекция
    • Top-K из N (куча)
    • Быстрое возведение в степень и подсчёт чисел Фибоначчи
    • Алгебра логики
    • Небольшая памятка по C++
    • Проблема останова
    • Примеры простейших серверов на Python
      • Простейший форкающийся сервер
      • Простейший prefork-сервер
      • Простейший многонитевой сервер
      • Многонитевой сервер с простым взаимодействием между нитями
      • Асинхронный сервер
    • Кумулятивное вычисление статистических характеристик
    • Пять задач, которые хорошо бы уметь решать за час
  • Теория относительности ▽
    • Об этих заметках
    • Пространство-время как геометрия
    • Физическая интерпретация
    • Универсальность скорости света
    • Эквивалентность инерциальных систем отсчёта
    • Относительность пространственных и временных интервалов
    • Движение быстрее света
    • Парадокс близнецов
    • Заключение
  • Теория вероятностей ▽
    • Как нас обманывает интуиция
    • Парадокс Монти Холла
    • Парадокс двух конвертов
  • Квантовая механика ▽
    • Принцип неопределённости на классических примерах
  • Фракталы ▽
    • Фрактальная размерность
    • Фрактальные деревья
    • Применение фракталов
    • Комплексная размерность
  • Гиперкуб
  • Обучение и преподавание ▽
    • О репетиторстве
    • Типичные ошибки на экзаменах
    • Лёгкая подготовка к экзаменам
    • Как отвечать на экзамене
  • Как я худел
  • Личное ▽
    • Обо мне (как бы резюме)
    • Благодарности
    • Мои ошибки
    • Немного фотографий
    • Копирование этих материалов



Отправить

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла (который еще называют Проблемой Монти Холла) — забавная задачка, которая попалась мне в ходе прослушивания лекций по Model Thinking. Если вы не уверены, что слышали когда-то про этот Парадокс, то наверняка вспомните о нем из фильма 21 с Кевином Спейси, задачка с Парадоксом упоминается там практически в самом начале.

Кстати, сам Монти Холл не имеет практически никакого отношения к Парадоксу. Он был популярным ведущим американского шоу «Let’s make a deal», на основе которго и описан Парадокс и решение задачи на его основе.

Задача сама по себе — из теории вероятности, и, что нравится мне в ней больше всего, решение противоречит привычному нам здравому смыслу.

Итак, представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно открыть одну из трёх закрытых дверей. За одной из дверей находится приз, за двумя другими дверями — некий «антиприз» (Монти Холл использовал для этого козу, интересно, почему?). Вы выбираете одну из дверей, например, первую. После этого ведущий, который точно знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, третью, за которой находится коза. Затем он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер два? Вопрос: увеличатся ли ваши шансы выиграть приз, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Есть еще три параметра, которые обязательно должны выполняться: приз равновероятно размещён за любой из 3 дверей; ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрали вы) и предложить изменить выбор; если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью (случайным образом).

По умолчанию, при таком развитии событий, человек еще больше уверяется в своем выборе и ни в коем случае не соглашается менять дверь на другую. Считается, что после открытия одной двери с козлом вероятности появления приза за двумя не открытыми становятся равны ½, вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно.

Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие — B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = ⅓, того, что за другими = ⅔.

Когда ведущий открывает одну из дверей, вероятность для выбранной первоначально двери А не меняется, она все еще ⅓, дверь B уходит из уравнения а вероятность для двери C становится ⅔.

И еще, предположим, что вы играете по описанной выше системе, то есть из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится приз, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, то есть, если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой ⅔, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

Парадокс Монти Холла — подготовка к ЕГЭ по Математике

Анна Малкова

Один из парадоксов теории вероятностей назван, как ни странно, не в честь ученого, а в честь ведущего телевизионного шоу. Это знаменитый парадокс Монти Холла.

Вот как он формулируется:

Вы — участник игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1.

После этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не хотите ли изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Чтобы ведущий не схитрил, сразу оговариваются следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью. 

Итак, вы выбрали одну из дверей, но не знаете, что за ней. Возможно, там автомобиль. И если вы, приняв предложение ведущего, измените свой выбор, — вы променяете автомобиль на козу!

А если там коза? Тогда, приняв предложение ведущего, вы выиграете автомобиль! Так менять выбор или не менять? Или шансы останутся такими же?

Вспомним основные принципы теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое невозможно точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Теория вероятностей изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними.

Благоприятным мы называем исход, способствующий наступлению данного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность – величина положительная и не может быть больше единицы.

Представьте, что вы – участник игры. С вероятностью вы выбрали дверь, за которой автомобиль. С вероятностью – дверь, за которой коза.

После этого ведущий спрашивает вас, не хотите ли вы поменять свой выбор.

Изобразим возможные исходы. В задачах по теории вероятностей мы часто рисуем такие схемы.

Если вы решили не менять свой выбор – вероятность выиграть автомобиль равна . Вы просто сразу выбрали дверь, за которой автомобиль, с вероятностью (одна благоприятная дверь из трех возможных).

А если вы поменяли свой выбор после того, как ведущий показал вам козу? Тогда вероятность выиграть автомобиль равна .

Все просто. Даже проще, чем в задачах ЕГЭ, которые мы рассматривали

Предложите эту задачу людям, не знающим теории вероятностей. Вы услышите самые разные ответы. Задача потому и называется «парадоксом», что первые пришедшие в голову «интуитивные» решения могут быть неверными.

Больше задач по теории вероятностей здесь:
Задачи по теории вероятности
— а также в бесплатном видеокурсе по теории вероятностей

Простейшее объяснение парадокса Монти Холла

Парадокс Монти Холла — это одна из тех математических задач, над решением которой уже долгое время бьются многие умы, и даже всемирно известных математиков она приводит в затруднение. Хотя идея, лежащая в основе этого парадокса, предельно ясна и понятна. Задача эта, строго говоря, и не парадокс вовсе, но называется так из-за неочевидности и парадоксальности предлагаемых решений и объяснений, которые становятся поводом для самых жарких дискуссий в Интернете. Их накал уступает, пожалуй, лишь спорам из-за оптической иллюзии так называемого «платья раздора» и аудиоиллюзии «Янни и Лорел». Предлагаемое здесь объяснение призвано раз и навсегда развеять все связанные с этим парадоксом вопросы и очень доходчиво разъяснить всем интересующимся его суть.

Парадокс

Парадокс впервые был сформулирован американским математиком Стивом Селвином ещё в 1975 году, но широкую известность он приобрёл благодаря популярному игровому шоу «Давайте заключим сделку». В честь ведущего этой телевикторины, которого звали Монти Холл, парадокс и получил своё название.

В чём же суть парадокса Монти Холла?

Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.

Казалось бы, ничего сложного. Но, как говорилось в одном фильме: «Если бы задача так просто решалась, то армянское радио этим бы не занималось». В своей передаче, после того как участник выбирал дверь, Монти всегда открывал одну из дверей с козой и предлагал ему поменять свой выбор. А вы поменяли бы или нет?

Этот вопрос многих ставит в тупик. Люди обычно думают: «Ну какая разница: остались две двери, и машина может с одинаковой вероятностью 50% оказаться как за одной, так и за другой дверью?». … И оказываются неправы. Правильный ответ — всегда менять первоначальный выбор. Поступая так, вы удваиваете свои шансы на победу.

Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.

Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.

Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.

Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.

Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.

Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.

Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!

Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.

Усложняем задачу

Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?

Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):

Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.

Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.

Читайте также:


Перевод статьи Anup Sebastian: The easiest explanation to the Monty Hall problem

Парадокс Монти Холла — это… Что такое Парадокс Монти Холла?

В поисках автомобиля игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать?

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Формулировка

Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.

Набор дополнительных условий и соответствующих им вероятностей приведен в таблице en:Monty Hall problem#Other host behaviors

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы — участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;
  • если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны 1/2, вне зависимости от первоначального выбора.

Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие — B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3.

Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Где 1/2 — условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на «1» и «0».

В результате выражения принимают вид:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 =0

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор — в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь (тогда ведущий откроет вторую проигрышную и вам останется поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете с вероятностью 2/3.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, т.е. парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

Дадим еще одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, т.е. из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, т.е., если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 2/3, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

Упоминания

  • В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачу: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь с автомобилем. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
  • В романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа» главные герои при помощи такого приёма выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
  • В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.
  • Парадокс Монти Холла обсуждается в дневнике героя повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки».
  • Парадокс Монти Холла проверялся Разрушителями Легенд

См. также

Ссылки

Литература

  • Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» журнал The Mathematical Intelligencer, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
  • vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Примечания

Проблема Монти Холла: простое объяснение решения


Содержание (Щелкните, чтобы перейти к этому разделу):

  1. В чем проблема Монти Холла?
  2. Более интуитивный способ взглянуть на проблему Монти Холла
  3. Почему переключение работает?
  4. 1975 Версия проблемы Монти Холла
  5. The Media Furor
  6. Использование теоремы Байеса для решения проблемы Монти Холла

В чем проблема Монти Холла?

Посмотрите видео для обзора:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Задача Монти Холла — это вероятностная головоломка, названная в честь Монти Холла, первого ведущего телешоу «Давайте заключим сделку». Это известный парадокс, у которого есть решение, которое настолько абсурдно, что большинство людей отказываются верить в его истинность.

Предположим, вы участвуете в игровом шоу и имеете выбор из трех дверей: за одной дверью находится машина; позади остальных — козы. Вы выбираете дверь, скажем, №1, и хозяин, который знает, что за дверью, открывает другую дверь, скажем №3, в которой есть коза.Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Выгодно ли менять свой выбор? ~ (Из колонки «Спроси Мэрилин» в журнале «Парад»)

Стоит ли переходить?

Вы не поверите, но на самом деле переход на него идет вам на пользу:

  • Если вы переключитесь, у вас будет примерно 2/3 шанса выиграть машину.
  • Если вы придерживаетесь своего первоначального выбора, у вас есть примерно 1/3 шанса на победу в машине.

Ответ звучит маловероятно.После открытия двери 3 вы можете подумать, что у вас есть две двери на выбор… обе с одинаковыми шансами. Однако на самом деле у вас гораздо больше шансов выиграть, если вы переключитесь.

  • Те, кто поменял двери, выиграли примерно в 2/3 случаев
  • Те, кто не переключился, выиграли примерно в 1/3 случаев.

Этот факт многократно подтверждался множеством математических расчетов. Если вы запутались и до сих пор не верите — не волнуйтесь, даже математики ломают голову над этим.Один гениальный математик Пол Эрдёш не верил, что ответ был правильным, пока ему не показали симуляции выигрышной стратегии «переключение».
В начало

Более интуитивный способ взглянуть на проблему Монти Холла

лот человек имеют проблемы с лучшими шансами поменять двери. Я тоже включил, пока не осознал простой факт: шансы лучше, если вы переключитесь, потому что Монти курирует оставшиеся варианты. Допустим, вы играли в игру, в которой Монти не знает, где находится машина.Не будет никакой разницы, переключитесь вы или нет (ваши шансы будут составлять 50%, несмотря ни на что). Но этого не происходит. Проблема Монти Холла имеет очень конкретный пункт: Монти знает, где находится машина. Он никогда не выбирает дверь с машиной. И, курируя оставшиеся двери для вас, он увеличивает шансы на то, что переключение — всегда хорошая ставка.

Еще одна причина, по которой некоторые люди не могут осмыслить проблему Монти Холла, — это малочисленность. Давайте посмотрим на ту же проблему со 100 дверями вместо 3.Вы выбираете случайную дверь.

Вместо одной двери Монти убирает 98 дверей. Это двери, которые, как он знает, не имеют приза! Остается две двери. Тот, который вы выбрали, и тот, который остался после того, как Монти устранил остальных.

Вы меняете двери сейчас? Ты должен. Когда вы впервые выбирали, у вас был только 1/100 шанс попасть в нужную дверь. Более того, это были лишь предположения. Теперь вам предлагается отфильтрованный выбор, созданный самим Монти Холлом.Должно быть ясно, что теперь ваши шансы намного лучше, если вы поменяетесь.

Все еще не верите? Попробуйте это моделирование. Вы увидите, что если вы переключитесь, вы выиграете примерно в 2/3 случаев.
В начало

Почему переключение работает?

Вероятно, лучший способ убедить себя в истинности решения — это попробовать моделирование самостоятельно.

Теперь, если вы хотите понять, почему это работает, есть несколько разных подходов к этому.Есть 3 двери, и ваш первоначальный выбор дает вам шанс 1/3. Остались две двери, которые вместе имеют 2/3 шанса на победу в машине. Особенно актуален тот факт, что Монти, открывающий одну из этих дверей, не меняет шансов. Эти шансы по-прежнему будут 2/3.

Все еще не уверены? Представьте, что вместо 3 дверей есть 300 дверей. Вы угадываете дверь 1, которая дает шанс на победу 1/300. Монти открывает 298 из оставшихся дверей, оставляя вам выбор между дверью 1 или дверью 201.В то время как ваши исходные шансы (1/300) остаются неизменными для случайно выбранной двери (дверь 1), Монти дал вам повышенные шансы, предоставив вам лучшую дверь из 298 случайно выбранных дверей. лучшая дверь из набора случайных дверей всегда будет иметь лучшие шансы.

Решение для журнала Parade

Это решение, приведенное в журнале Parade Magazine, показывает все возможные результаты пребывания или переключения.

ОСТАНОВИТЬСЯ :
Вы выбираете дверь 1. Монти открывает «козью дверь».» Вы остаетесь. В сценарии 1 вы выиграете. А в двух других сценариях вы проиграете. Дает вам 1/3 шанса на победу для всех сценариев.

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕ
Вы выбираете дверь 1. Монти открывает «козью дверь». Вы переключаетесь. Для сценария 1 вы проиграете. И на этот раз по двум другим сценариям вы выиграете. Это дает вам 2/3 шансов на победу.
Вернуться к началу


1975 Версия задачи Монти Холла

Хотя проблема была широко освещена в колонке «Спросите Мэрилин» в 1990 году, самое раннее упоминание о ней было в письме, которое Стив Селвин написал американскому статистику.В своем письме к редактору, озаглавленному «Проблема вероятности», Селвин сформулировал проблему Монти Холла. Вместо трех дверей было 3 коробки с маркировкой A, B и C. В одной были ключи от нового Lincoln Continental. Две другие коробки были пусты. Участник выбирает коробку, Монти открывает пустую коробку и спрашивает участника, хочет ли он поменяться. Вопрос почти такой же, за исключением того, что вместо машины, дверей и козлов у вас есть машина, коробки и ничего. После постановки вопроса (должен ли участник поменяться?) Селвин предлагает решение:


Решение задачи Монти Холла 1975 года от американского статистика.


Если вы посчитаете количество побед / поражений в столбце «Результат», вы получите 6/9, что соответствует вероятности выигрыша 2/3.
В начало

Медиа-фурор

Что касается , почему эта проблема вероятности стала такой известной, во многом связано с фурором в СМИ, который последовал за ответом Мэрилин в колонке «Спросите Мэрилин»:

«Да; вы должны переключиться. У первой двери шанс на победу 1/3, а у второй двери — 2/3.Вот хороший способ визуализировать, что произошло. Предположим, есть миллион дверей, и вы выбираете дверь №1. Затем ведущий, который знает, что находится за дверьми, и всегда будет избегать того, у кого есть приз, открывает их все, кроме двери № 777,777. Вы бы быстро перешли к этой двери, не так ли? »

Несогласие с решением

Из тысяч писем, которые Мэрилин получила после публикации колонки, большинство с ней не согласились.

Несколько комментариев

Вот пара комментариев (со страницы проблемы Мэрилин на Game Show):

Роберт Сакс, Ph.Д. ответил: «Как профессиональный математик, меня очень беспокоит отсутствие математических навыков у широкой публики. Пожалуйста, помогите, признав свою ошибку и в будущем проявив большую осторожность ».
Скотт Смит, доктор философии «Вы взорвали это, и вы взорвали его по-крупному! Поскольку вам, кажется, трудно понять основной принцип, который здесь работает, я объясню… »
Барри Пастернак, доктор философии. Ваш ответ на вопрос ошибочный. Но если это хоть как-то утешает, то многие мои коллеги по академической науке тоже были озадачены этой проблемой.

Мэрилин опубликовала ответ, повторно объяснив свой ответ, в результате чего появилось еще больше писем, умоляющих ее исправить свою ошибку. Среди них письма заместителя директора Центра оборонной информации и специалиста по математической статистике из Национальных институтов здравоохранения. Мэрилин обратилась в математические классы по всей стране с просьбой провести эксперименты, чтобы подтвердить теорию, и в классах округа проводились вероятностные эксперименты. Любой, кто учился в начальной школе в 1990 году, вероятно, помнит этот фурор.

Попробуйте свой собственный эксперимент дома…

Все еще не совсем понимаете задачу Монти Холла? Проведите собственный эксперимент дома. Поставьте игрушечную машинку под один из трех ящиков и сыграйте в игру сто раз самостоятельно, отмечая свои результаты. Но учитывая, что все эти доктора философии ошибаются, не расстраивайтесь, если вы все еще в тупике.

С другой стороны, вас может утешить тот факт, что голуби могут быть умнее математиков: они лучше справляются с дилеммой Монти Холла.В исследовании, опубликованном в Journal of Comparative Psychology, использовалась версия игры для выдачи призов из смешанного зерна. У птиц дела шли неплохо, даже лучше, чем у их человеческих собратьев. Эксперимент повторили с людьми (хотя, надеюсь, с чем-то кроме зерна в качестве приза…). Даже после «обширного обучения» люди все равно не справлялись с этим так хорошо, как птицы. Пища для размышлений!

Подробнее…

Проблема Монти Холла вдохновила тысячи веб-сайтов, газет и других средств массовой информации попытаться найти свои собственные ответы на эту проблему.Погуглите «Проблема Монти Холла», и вы получите несколько сотен тысяч страниц. Большинство из них заявляют о проблеме и предлагают решения, аналогичные тому, что вы читали выше. Но есть несколько довольно уникальных решений, если вы знаете, где искать:

Профессор юридической школы Эмори Саша Волох, пишет для The Washington Post, рассматривает проблему с точки зрения условной вероятности. Если вас устраивает довольно высокая вероятность, это будет интересное чтение. «Истинное объяснение состоит в том, что Монти должен показать дверь 2, если машина находится за дверью 3, но он может показать дверь 2, если машина находится за дверью 1, поэтому его выбор показать дверь 2 дает вам умеренный объем информации в пользу сценарий двери-3.”

Профессор математики Джейсон Розенхаус написал целую книгу по теме под названием Проблема Монти Холла: замечательная история самой спорной математической головоломки (Oxford University Press, 2009). В этой книге он подходит к проблеме с самых разных точек зрения — от логических аргументов до математической строгости. Он (очевидно) более основательный, чем мог бы быть даже самый уважаемый из нас. Вы можете найти его на Amazon.

В начало

Использование теоремы Байеса для решения проблемы Монти Холла

Вышеупомянутые «решения» — это логических решений проблемы.Более строгое решение можно найти с помощью теоремы Байеса. Благодарим Кристофера Лонга за это интересное решение. Я предполагаю, что вы знакомы с теоремой Байеса, которая позволяет вычислить условную вероятность (если произойдет событие A, какова вероятность того, что произойдет событие B?).

Основа для решения та же, что и в приведенном выше сценарии. Двери три, за одной стоит машина. Вы выбираете дверь, затем Монти открывает одну из других дверей, чтобы увидеть козу.

Предположим, вы выбираете дверь 1, а затем Монти показывает вам козла за дверью 2. Чтобы использовать теорему Байеса, нам нужно сначала назначить событие для A и B.

  • Пусть событием А будет то, что автомобиль находится за дверью №1.
  • Пусть событие B будет состоять в том, что Монти открывает дверь 2, чтобы показать козу.

Вот решение Байеса

:

Pr (A) вычислить довольно просто. Существует 1/3 шанса, что машина находится за дверью 1. Остались две двери, и каждая имеет 1/2 шанса быть выбранной, что дает нам Pr (B | A), или вероятность события B, учитывая А.
Pr (B) в знаменателе вычислить немного сложнее. Учтите, что:

  1. Вы выбираете дверь 1. Монти показывает вам козу за дверью 2.
  2. Если машина находится за дверью 1, Монти ее не выберет. Он откроет дверь 2 и покажет козу в половине случаев.
  3. Если машина находится за дверью 2, Монти всегда будет открыть дверь 3, так как он никогда не показывает машину.
  4. Если машина находится за дверью 3, Монти будет открывать дверь 2 в 100% случаев.

Когда Монти открыл дверь 2, вы знаете, что машина находится либо за дверью 1 (на ваш выбор), либо за дверью 3.Вероятность того, что машина окажется за дверью 1, составляет 1/3. Это означает, что вероятность того, что машина окажется за дверью 3, равна 1 — (1/3) = 2/3. И поэтому вы переключаетесь.

Список литературы

Агрести А. (1990) Анализ категориальных данных. Джон Вили и сыновья, Нью-Йорк.
Гоник Л. (1993). Мультяшный справочник по статистике. HarperPerennial.
Kotz, S .; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Уиллан, К. (2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


Проблема Монти Холла: статистическая иллюзия

Почему это приемлемое решение, когда его легко опровергнуть. Проблема в том, что вы рассматриваете всю установку как единую предпосылку, тогда как на самом деле есть три отдельных помещения, где одна предпосылка устанавливает другую. За посылкой 1 следует посылка 2, а за ней — посылка 3.

Предпосылка 1 — ваш первоначальный выбор, я думаю, что все здесь согласны, что вероятность того, что вы выберете правильно, составляет 1/3.
Из предпосылки 2 следует, что Хост должен выбрать дверь, и она должна быть неправильной, сколько вариантов он оставил позади, 2, он либо оставил неправильный выбор, либо правильный выбор в зависимости от того, что вы выбрали. Таким образом, у него есть 1/2 шанса оставить неверный выбор, поскольку один неверный выбор был устранен его действием. Напряжение важно. Когда мы выясняем, что осталось позади (Будущее), мы должны сначала узнать, что было удалено (Прошлое), чтобы получить нашу вероятность (Настоящее).
Предпосылка 3 — это ваше, наконец, переключение дверей — это просто переформулировка вопроса, того или другого. Опять же, прошлое очень важно, поскольку одну дверь больше нельзя открыть, она была удалена из уравнения, и никакая другая дверь не выиграла над другой. Для человека, который делает выбор, мы снова находимся на первом месте. Предпосылка 3 — это переписывание предпосылки 1, но с двумя дверями на выбор вместо трех. Итак, наш окончательный ответ — 1/2.

Задача Монти Холла устанавливает предпосылки 1 и 2, а затем просит вас решить предпосылку 3.Решая посылку 3, вы должны иметь посылку 1 и 2 в прошлом, а прошлое дает только те ответы, которые в настоящем, несомненно, будут влиять на будущий выбор.
Когда люди берутся за эту проблему, они относятся ко всему как к одной предпосылке, только присутствующей, и которая мешает вашей работе.

Также для тех, кто говорит, просто увеличивайте количество дверей, это ничего не меняет. Вы добавляете варианты выбора в предпосылку 1, затем удаляете их в предпосылке 2, поэтому предпосылка 3 остается неизменной, поскольку добавление числа к проблеме и последующее удаление того же числа возвращает вас туда, где вы были до того, как добавили эти числа.
Проще говоря, у вас, у вашего друга и у всех, у кого есть лотерейный билет, есть лотерейный билет. Вы уже выбрали свой билет, но не знаете, выиграли вы или нет. Предполагая, что то, что ваш друг говорит вам, правда, они говорят вам, что у одного из вас двоих есть выигрышный лотерейный билет. Это немедленно исключает все другие лотерейные билеты. Какова вероятность того, что переключение с вашим другом даст вам выигрышный билет? Это 50:50, либо у вас, либо у них, сценарий уже прошел через все остальные предпосылки, и вам остается только предположить 3, переключаться или нет.

Используя принятое решение задачи Монти Холла, ваш билет имеет вид 1 / возможный выигрыш в лотерею и возможен лотерейный выигрыш-1 / возможный выигрыш в лотерее, если он есть у вашего друга. Но ваш друг уже сказал вам, что он есть только у одного из вас, вы знаете это как факт (пока ваш друг говорит правду, которую мы предполагаем в этом сценарии). Итак, ответ, который дает вам проблема Монти Холла, в корне ошибочен, поскольку у нас есть только два знаменателя и один числитель. 1/2 в виде дробей.

Сценарий лотереи такой же, как и в «Задаче Монти Холла», но я заменил двери на лотерейные билеты, а ведущий — на вашего друга, это все, что я сделал, и «Проблема Монти Холла» потерпела крах.

Вот почему я не понимаю, почему решение, представленное для проблемы Монти Холла, является консенсусом, оно терпит неудачу на математической, статистической и презентационной основе. Никогда в математике и статистике вы не представляете три отдельных посылки как одну предпосылку.

Если бы я прогнал этот сценарий на компьютере, было бы 6 возможных исходов: выигрыш при переходе, выигрыш при залипании, проигрыш за переход, проигрыш за залипание и два исхода с исключениями.Это оставляет нам 2 возможных выигрыша против 2 возможных проигрышей из 4 возможных исходов. это дает нам 2/4 независимо от того, что мы выбираем, что компьютер логически определяет как 1/2.
Следующий вопрос: почему я исключил 2 исхода? Что ж, одним из результатов является выбор той же двери, что и хост, поскольку мы знаем, что хост не может выбрать нашу дверь, этот результат исключен. Другой вариант — переключиться на дверь, которую показал ведущий, нам больше никогда не предоставляется возможность выбрать ту же самую дверь, мы не можем выбрать ее в соответствии со сценарием игрового шоу и из-за того, что мы недостаточно глупы, чтобы выбрать это если бы нам была предоставлена ​​возможность, так что результат исключен.Поэтому я их исключил, это логически невозможные исходы.

Затем я воспользуюсь вашей таблицей, чтобы показать недостаток вашего аргумента.
Line 1, работает отлично. Хозяин может выбирать между ошибками.
Строка 2, хост не может выбирать.
Строка 3, это всего лишь строка 2, у хоста по-прежнему нет выбора.

Из-за этого ваша таблица показывает исключенный результат наряду с фактическим результатом. Пока ведущий не может выбрать удаленную дверь, эти исходы не имеют одинакового значения: либо они разделяют одно значение пополам между собой, либо один забирает все значение, делая другое невозможным.

Это работает для каждых трех строк вашей таблицы, одна из трех должна быть исключена.
Строка 4, хост не может выбрать ничего, кроме оставшейся неправильной двери.
Line 5, работает отлично. хозяин получает возможность выбирать.
Строка 6, это снова строка 4.

Строка 7, хост может выбрать только определенную дверь.
Строка 8, такая же, как и строка 7.
Строка 9, работает отлично. Хозяин выбирает.

Если мы удалим каждую повторяющуюся линию, мы получим 3 победы на стойку и 3 победы на смену.Соотношение сторон 3: 3 соответствует соотношению 50:50.

Ваша таблица ошибочна, поскольку предполагает, что хост делает выбор в каждом исходе. Когда они не делают выбора, другой сценарий, когда они не делают выбора, — это тот же сценарий, это не другой результат, это повторяющийся результат. Самый простой способ показать это — заменить номера дверей значениями, присвоенными таблицей.
Когда вы выбираете выигрышную дверь, замените номер двери на выигрыш. Если вы выбрали не ту дверь, замените номер двери на потерянную.Видите повторы? Если вы это сделаете, это проблема, потому что это означает, что вы установили свой стол с шансом 1/3 на выигрышную дверь, шансом 2/3 на проигрышной двери и шансом 2/3 на другой проигрышной двери перед вами. даже началось, что дает вам в сумме 5/3, что является статистической невозможностью. Знаменатель никогда не должен быть больше числителя, иначе у вас будет больше уверенности, которой никогда не позволяет статистика. Статистика всегда начинается с определенности: вы выберете одну, а затем она делит эту уверенность на количество вариантов, и какой из этих трех вариантов вы выберете.И, наконец, умножается на количество исправлений, получается один благоприятный результат. Вы выберете один = 1, который из этих трех = 3, будет один благоприятный результат = 1.
1/3 * 1 = 1/3
Если вы удалите дверь, мы выберем 1 из этих 2, 1 пользу .
1/2 * 1 = 1/2
В данном сценарии переключение фактически означает повторный выбор. Вы принимаете решение, и у вас есть два варианта принятия нового решения, независимо от того, что вы решили ранее.

Длинный пост, действительно влез в это.Опять же, мне кажется странным, что решение Монти Холла так широко принято, хотя оно так несовершенно.

Читая вашу пересмотренную статью сейчас, я как программист уже вижу изъян в вашем коде. Программное обеспечение не записывает результат нахождения и переключения, ваше программное обеспечение записывает результат вашего первоначального выбора: ваш выбор правильный и один из двух правильных. Собственно, каковы ваши шансы быть правыми, когда вы выбираете дверь. 1/3, там три двери. ELSE не делает то, что вы хотите, это не решающие переключатели, которые вы только что назвали так.

НАЗВАНИЕ дверьОдна дверьДве двериТри
КОПИРОВАНИЕ (дверьОдна дверьДва двериТри) двери
КОПИРОВАНИЕ 10000 rptCount
ПОВТОР rptCount
ОБРАЗЕЦ 1 двери prideDoor
ОБРАЗЕЦ 1 дверь guessDoor
IF guessDoor = prideDoor
SCORE00030003 ENDWinsScore

Переключение SUMWinsScore переключениеWinsCount
SUM остается

Вы передаете этот код компетентному программисту в качестве решения проблемы, и он скажет вам попробовать еще раз и перестать тратить свое время.

Для того, чтобы ваш код работал, ваш код должен включать открытие двери перед записью, если вы выиграете или проиграете, поскольку именно так возникает проблема.

Простое исправление:
НАЗВАНИЕ дверьОдна дверьДве двериТри
КОПИЯ (дверьОдна дверьДва дверьТри) двери
КОПИРОВАТЬ 10000 rptCount
ПОВТОР rptCount
ОБРАЗЕЦ 1 двери prideDoor
ОБРАЗЕЦ 1 двери guessDoor
ОБРАЗЕЦ 1 двери раскрывают дверь (приз
) WHI
= ShowDoor
ЕСЛИ guessDoor! = ShowDoor
ЕСЛИ guessDoor = prideDoor
ОЦЕНКА 1 остается снова
END
END
SUM переключениеWinsScore переключениеWinsCount
SUM осталось

При этом ваш компьютер должен вернуть 0.5 (или аналогичный) шанс для каждого результата пребывания и переключения или что-то близкое.
В вашем исходном коде пропущены ключевые переменные, такие как открытая дверь, не равная двери для предположения, и открытая дверь, не равная двери для предположения. Фактически, вы даже не включили открывающуюся дверь, что является основным фактором результата, поскольку влияет на две другие переменные.
Если ваш код — это код, который выдается людям как 101 статистика, я опасаюсь за будущих статистиков, поскольку им скармливают неполный код и говорят, что он завершен.Код
раздражителен, что-то упускает или неправильно понимает, и он будет делать что-то отличное от того, что вы хотите, не сообщая вам, что именно он делает. Он не говорит вам этого, потому что вы сказали ему, что то, чего вы не хотели, это то, чего вы хотите, он не знает другого.
Итак, что я сделал с кодом, я добавил в предпосылку 2. Хозяин удаляет дверь. Эта дверь будет называться открывающей дверью. Давайте добавим эту переменную в.
Мы знаем, что PrizeDoor не может быть равно discoverDoor, так что это наше первое добавление после добавления переменной.Мы хотим знать, совпадает ли открывающая дверь с PrizeDoor, и если это не так, мы продолжаем, в противном случае мы перезапускаем. Ах, я думал, что мы что-то упустили, перед тем, как начать наши аргументы (ЕСЛИ), нам нужно добавить перезапуск для случаев, когда раскрытие двери равно либо призовой двери. WHILE скажет нам продолжать, пока мы не ПРЕРЫВАЕМ цикл. ELSE не ПРЕРЫВАЕТ его, поэтому он пытается повторить попытку, не достигнув результата и не израсходовав попытку. Мы хотим, чтобы это было сделано так, чтобы наш PrizeDoor выполнил условие не быть открывающим, как в нашем сценарии.
Затем то же самое для сравнения guessDoor с открытиемDoor, продолжить, если они не совпадают, перезапустить, если они есть.
И все. Я несколько раз пересматривал этот код и переписывал его всякий раз, когда обнаруживал проблему или ошибку. Повторение фактически добавлялось в конце, когда я понял, что мы потеряем попытки, если не будем повторять при нулевых попытках. BREAK просто означает конец цикла, вызванный WHEN.

Я не уверен, соответствуют ли мои дополнения вашему языку кода, поскольку ваш код не соответствует C # или C ++, и вы не указали язык программирования в своем примере.Я использовал C ++ при добавлении WHEN и BREAK для повтора, пожалуйста, используйте эквивалент вашего языка программирования при кодировании. (Предполагая, что они не те, что есть.)

Хорошо, сначала я выявил недостатки в вашей таблице, а затем выявил недостатки в вашем коде. Что дальше.
Как насчет вашего испытания с дочерью? Все остальное до этой части полагается на ваш некорректный код, поэтому мы можем пропустить его, поскольку разоблачение кода развенчивает то, что использует код.

Во-первых, молодец, но это ничего не доказывает, кроме того, что у вас плохие инстинкты перед переключением.Теория и практика могут иметь разные результаты из-за вещи, известной как True Random. Даже если вероятность того, что вы правы, составляет 50%, вы можете быть правы в своей выборке в 100% случаев. Заблуждение игроков — думать, что ваши предыдущие результаты влияют на ваши текущие результаты, вы не гарантируете, что получите их правильно в 50%, 30% или даже 1% случаев, даже если ваши шансы правы равны 50. %, в качестве альтернативы вам не гарантируется, что вы ошибетесь в 50%, 30% или даже 1% случаев, даже если ваш шанс был прав — 50%.

И здесь заканчивается ваш второй…
Боже, я добавил еще одну длину к посту. Но мне удалось развенчать каждый ваш пример. Количество неработающих методов, используемых для навязывания лжи, безумно.

Понимание проблемы Монти Холла — лучшее объяснение

Задача Монти Холла — это нелогичная статистическая головоломка:

  • Есть 3 двери, за которыми две козы и машина.
  • Вы выбираете дверь (назовите ее дверью A). Вы, конечно, надеетесь на машину.
  • Монти Холл, ведущий игрового шоу, осматривает другие двери (B и C) и открывает одну с козой. (Если в обеих дверях есть козы, он выбирает случайным образом.)

Вот игра: вы придерживаетесь двери A (исходное предположение) или переключаетесь на неоткрытую дверь? Это имеет значение?

Удивительно, но шансы не 50 на 50. Если вы поменяете двери, вы выиграете в 2/3 случаев!

Сегодня давайте разберемся с , почему простая игра может быть такой непонятной. На самом деле игра заключается в переоценке ваших решений по мере появления новой информации.

Сыграть в игру

Вы, наверное, бормочете, что две двери означают 50 на 50. Хорошо, дружище, поиграем в игру:

Попробуйте сыграть в игру 50 раз, используя стратегию «выбери и удержи». Просто выберите дверь 1 (или 2, или 3) и продолжайте щелкать. Нажмите, нажмите, нажмите. Посмотрите на свой процент побед. Вы увидите, что она осядет около 1/3.

Теперь сбросьте и сыграйте 20 раз, используя подход «выбери и переключи». Выберите дверь, Монти показывает козла (серая дверь), и вы переключаетесь на другую.Посмотрите на свой процент побед. Это больше 50%? Ближе к 60%? До 66%?

Есть шанс, что стратегия «останься и держись» сработает при небольшом количестве испытаний (до 20 или около того). Если бы у вас была монета, сколько подбрасываний вам нужно было бы, чтобы убедить себя, что это честно? Вы можете получить 2 орла подряд и подумать, что это фальсификация. Просто поиграйте в игру несколько десятков раз, чтобы выровнять ситуацию и уменьшить шум.

Понимание того, почему работает переключение

Это сложный (но убедительный) способ реализовать коммутацию.Вот способ попроще:

Если я возьму дверь и придержу ее, у меня будет 1/3 шанса на победу.

Мое первое предположение — 1 из 3 — есть 3 случайных варианта, верно?

Если я буду твердо придерживаться своего первого выбора, несмотря ни на что, я не смогу улучшить свои шансы. Монти мог добавить 50 дверей, взорвать остальные, танцевать под дождем вуду — это не имеет значения. Лучшее, что я могу сделать с моим первоначальным выбором — 1 к 3. У другой двери должны быть остальные шансы, или 2/3.

Объяснение может иметь смысл, но не объясняет , почему шансы «улучшаются» с другой стороны.(Некоторые читатели оставили свои объяснения в комментариях — попробуйте их, если переключатель 1/3 остается против 2/3 не нажимается).

Понимание игрового фильтра

Давайте разберемся, почему снятие дверей делает переход привлекательным. Вместо обычной игры представьте такой вариант:

  • В начале есть 100 дверей на выбор
  • Вы выбираете одну дверь
  • Монти смотрит на остальные 99, находит козлов и открывает все, кроме 1

Вы придерживаетесь своей исходной двери (1/100) или другой двери, которая была отфильтрована из 99? (Попробуйте это в игре-симуляторе; используйте 10 дверей вместо 100).

Немного яснее: Монти берет набор из 99 вариантов и , улучшая их , удаляя 98 козлов. Когда он закончит, у него будет верхняя дверь из 99, которую вы можете выбрать.

Ваше решение: вы хотите случайных дверей из 100 (первоначальное предположение) или лучших дверей из 99? Другими словами, вам нужен 1 случайный шанс или лучший из 99 случайных шансов?

Мы начинаем понимать, почему действия Монти помогают нам. Он позволяет нам выбирать между обычным, случайным выбором и выбором , отфильтрованным и отфильтрованным.Отфильтрованный лучше.

Но … но … разве два варианта не должны означать шанс 50 на 50?

Преодолевая наши заблуждения

Предположение, что «два выбора означают 50-50 шансов» — это наше самое большое препятствие.

Да, два варианта равновероятны, если вы не знаете ничего о любом выборе. Если бы я выбрал двух случайных японских кувшинов и спросил: «Кто имеет более высокий рейтинг?» вы не догадывались. Вы выбираете имя, которое звучит круче, и 50 на 50 — лучшее, что вы можете сделать. Вы ничего не знаете о ситуации.

Теперь предположим, что Питчер А — новичок, никогда не тестировался, а Питчер Б получал награду «Самый ценный игрок» последние 10 лет подряд. Изменит ли это ваше предположение? Конечно: вы выберете Кувшин Б (почти наверняка). Ваш неосведомленный друг все равно назвал бы это ситуацией 50 на 50.

Информация имеет значение.

Чем больше вы знаете…

Вот общая идея: Чем больше вы знаете, тем правильнее ваше решение.

С японскими бейсболистами вы знаете больше, чем ваш друг, и у вас больше шансов.Да, да, есть вероятность , , что новичок станет лучшим игроком в лиге, но мы говорим здесь о вероятности , . Чем больше вы тестируете старый стандарт, тем меньше вероятность того, что новый вариант превзойдет его.

Вот что происходит с игрой на 100 дверей. Ваш первый выбор — случайная дверь (1/100), а другой ваш выбор — чемпион, победивший 99 других дверей (он же MVP лиги). Скорее всего, чемпион тоже лучше, чем новая дверь.

Визуализация облака вероятности

Вот как я визуализирую процесс фильтрации.Вначале каждая дверь имеет равные шансы — я представляю себе бледно-зеленое облако, равномерно распределенное по всем дверям.

Когда Монти начинает удалять плохих кандидатов (из 99 вы не выбрали), он «отталкивает» облако от плохих дверей к хорошим на той стороне. Это продолжается и продолжается — и оставшиеся двери окрашиваются в более яркое зеленое облако.

После всех фильтров остается ваша исходная дверь (все еще с бледно-зеленым облаком) и «Дверь Чемпиона», светящаяся ядерно-зеленым светом, содержащая вероятности 98 дверей.

Вот ключ: Монти не пытается улучшить вашу дверь!

Он намеренно , а не осматривает вашу дверь и пытается избавиться от коз там. Нет, он только «выдергивает сорняки» с соседской лужайки, а не с вашей.

Обобщение игры

Общий принцип заключается в переоценке вероятностей по мере добавления новой информации. Например:

  • Байесовский фильтр улучшается, поскольку он получает больше информации о том, являются ли сообщения спамом или нет.Вы не хотите оставаться статичным с исходным набором данных для обучения.

  • Оценка теорий. Без каких-либо доказательств две теории равновероятны. По мере того, как вы собираете дополнительные доказательства (и проводите больше испытаний), вы можете увеличивать свой доверительный интервал, что теория A или B верна. Одним из аспектов статистики является определение «сколько» информации необходимо для уверенности в теории.

Это общие случаи, но суть ясна: больше информации означает, что вы пересматриваете свой выбор.Роковой недостаток парадокса Монти Холла состоит в том, что не принимает во внимание фильтрацию Монти , полагая, что шансы одинаковы до и после того, как он отфильтрует другие двери.

Сводка

Вот ключевые моменты для понимания загадки Монти Холла:

  • Два варианта: 50-50, когда вы ничего о них не знаете
  • Монти помогает нам, «отфильтровывая» неудачный выбор с другой стороны. Это выбор случайного предположения и «дверь чемпиона», которая является лучшей с другой стороны.
  • В целом, получение дополнительной информации означает, что вы переоцениваете свой выбор.

Роковой недостаток парадокса Монти Холла заключается в том, что он не принимает во внимание фильтрацию, которую Монти считает, что шансы до и после одинаковы. Но цель не в том, чтобы разобраться в этой головоломке, а в том, чтобы понять, как последующие действия и информация бросают вызов предыдущим решениям. Счастливая математика.

Приложение

Давайте подумаем о других сценариях, чтобы укрепить наше понимание:

Ваш приятель угадывает

Предположим, ваш друг входит в игру после того, как вы выбрали дверь, а Монти обнаружил козу — но он не знает аргументацию, которую использовал Монти.

Он видит две двери, и ему предлагается выбрать одну: у него шанс 50-50! Он не знает, почему одна дверь должна быть лучше (но вы знаете). Основная путаница заключается в том, что мы думаем, что мы похожи на своего друга — мы забываем (или не осознаем) влияние фильтрации Монти.

Монти сходит с ума

Монти показывает козу, а затем у него припадок. Он закрывает дверь и смешивает все призы, включая вашу дверь. Помогает ли переключение?

Нет. Монти начал фильтрацию, но так и не завершил ее — у вас есть 3 случайных варианта, как и в начале.

Несколько Monty

Монти дает вам 6 дверей: вы выбираете 1, и он делит 5 других на группы по 2 и 3. Затем он убирает коз, пока в каждой группе не останется 1 дверь. На что ты переключаешься?

Группа, у которой изначально было 3. У нее 3 двери «свернулись» в 1, вероятность 3/6 = 50%. Ваше исходное предположение имеет 1/6 (16%), а группа, у которой было 2, имеет 2/6 = 33% правильности.

Другие сообщения в этой серии

  1. Краткое введение в вероятность и статистику
  2. Интуитивное (и краткое) объяснение теоремы Байеса
  3. Понимание теоремы Байеса с отношениями
  4. Понимание проблемы Монти Холла
  5. Как анализировать данные с использованием среднего значения
  6. Понимание парадокса дней рождений

Задача Монти Холла | Блестящая вики по математике и науке

Есть два аспекта проблемы Монти Холла, с которыми многие не могут согласиться.Во-первых, почему после того, как хозяин откроет дверь, шансы не 50-50? Почему у смены дверей есть 2 из 3 шансов на победу, когда при первом выборе шанс только 1 из 3? Во-вторых, почему, если Монти действительно случайно открыл дверь и случайно показал козу, то шансы остаться или сменить дверь теперь составляют 50-50? Теорема Байеса может ответить на эти вопросы.

Теорема Байеса — это формула, которая описывает, как обновить вероятность того, что гипотеза верна при наличии доказательств.В данном случае это вероятность того, что наша первоначально выбранная дверь — это та, за которой стоит машина (что оставаться правильным), учитывая, что Монти открыл дверь, показывая козу за ней: что Монти показал нам, что один из вариантов, который мы не выбрал был неправильным выбором. Пусть HHH будет гипотезой «за дверью 1 стоит машина», а EEE будет свидетельством того, что Монти обнаружил дверь с козой за ней. Тогда проблема может быть переформулирована как вычисление P (H∣E) P (H \ mid E) P (H∣E), условной вероятности HHH с учетом EEE.

Поскольку за каждой дверью стоит машина или коза, гипотеза «notH \ text {not} HnotH» аналогична гипотезе «за дверью 1 стоит коза».

В этом случае теорема Байеса утверждает, что

P (H∣E) = P (E∣H) P (E) P (H) = P (E∣H) × P (H) P (E∣H) × P (H) + P (E∣ notH) × P (notH) .P (H \ mid E) = \ frac {P (E \ mid H)} {P (E)} P (H) = \ frac {P (E \ mid H) \ times P (H)} {P (E \ mid H) \ times P (H) + P (E \ mid \ text {not} H) \ times P (\ text {not} H)}. P (H∣E) = P (E) P (E∣H) P (H) = P (E∣H) × P (H) + P (E∣notH) × P (notH) P (E∣ H) × P (H).

Задача состоит в том, что Монти Холл намеренно показывает вам дверь, за которой стоит коза.

Разбив каждый из компонентов этого уравнения, мы получаем следующее:

  • P (H) P (H) P (H) — это априорная вероятность того, что за дверью 1 стоит машина, не зная о двери, которую открывает Монти. Это 13 \ frac {1} {3} 31.
  • P (notH) P (\ text {not} H) P (notH) — это вероятность того, что мы не взломали дверь, за которой находилась машина.Поскольку за дверью либо есть машина, либо нет, P (notH) = 1 − P (H) = 23P (\ text {not} H) = 1 — P (H) = \ frac {2} {3} P (notH) = 1 − P (H) = 32.
  • P (E∣H) P (E \ mid H) P (E∣H) — вероятность того, что Монти покажет дверь с козой за ней, учитывая, что за дверью 1 стоит машина. Поскольку Монти всегда показывает дверь. с козой это равно 111.
  • P (E∣notH) P (E \ mid \ text {not} H) P (E∣notH) — это вероятность того, что Монти покажет козу, учитывая, что за дверью 1 находится коза. Опять же, поскольку Монти всегда показывает дверь с козлом, это равно 111.

Объединение всей этой информации дает

P (H∣E) = 1 × 131 × 13 + 1 × 23 = 131 = 13. P (H \ mid E) = \ frac {1 \ times \ frac13} {1 \ times \ frac13 + 1 \ times \ frac23} = \ frac {\ hspace {1mm} \ frac13 \ hspace {1mm}} {1} = \ frac {1} {3}. P (H∣E) = 1 × 31 + 1 × 32 1 × 31 = 131 = 31.

Вероятность того, что автомобиль находится за дверью 1, полностью не изменяется доказательствами. Однако, поскольку машина может находиться либо за дверью 1, либо за дверью, которую не раскрыл Монти, вероятность того, что она скрывается за дверью, равна 23 \ frac {2} {3} 32.Таким образом, переключение в два раза увеличивает вероятность того, что вы выберете машину, чем остановившуюся.

Понимание проблемы Монти Холла | Тони Ю

Я написал симулятор на Python для задачи Монти Холла (, вы можете найти мой код здесь ). Когда я запустил его

0 раз, а затем очень внимательно посмотрел на результаты, я понял, что происходит.

Вот результаты, если вы не измените выбор двери после того, как ведущий откроет одну из дверей с козой за ней. Как и ожидалось — в 1/3 симуляций вам повезет и вы выберете правильную дверь.

Результаты моделирования, если вы не измените свой выбор.

Очевидно, что если у вас есть 1/3 шанса выбрать правильную дверь, то из этого следует, что у вас есть 2/3 шанса выбрать неправильную дверь. Разве не было бы неплохо изменить ситуацию? Но единственный способ сделать это — выбрать 2 двери, верно?

Что ж, если я скажу вам, что, переключая ваш выбор дверей после того, как ведущий открывает одну, вы фактически выбираете 2 двери? Звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, не так ли? Но именно это и происходит.Легче понять, почему, если мы изменим ситуацию вспять.

Давайте подумаем о том, как мы можем проиграть, если решим перевернуть дверь. В этом случае мы проигрываем, если наш первоначальный выбор был правильным. Это потому, что, открывая не ту дверь (дверь с козой), хозяин фактически дает нам предположение. А затем мы можем завершить отмену нашего первоначального решения, перевернув наш первоначальный выбор. Наш первоначальный выбор будет правильным в 1/3 случаев, а поскольку мы выбрали другую сторону нашего первоначального выбора, мы получаем автомобиль в 2/3 случаев.

Более интуитивно понятный способ визуализировать это — переработать Задачу Монти Холла как немного другую игру. Вместо этого представьте, что вы играете против двух других игроков. Всем троим случайным образом назначается другая дверь, и вы можете оставить то, что находится за дверью, которую назначили вам.

The Key Twist

Прямо перед тем, как вы откроете дверь, к вам подходит хозяин и говорит:

Я дам вам выбор. Либо вы можете оставить то, что находится за дверью, либо оставить то, что находится за дверями ваших противников.И да они оба!

Вы бы согласились на эту сделку? Я бы определенно стал. Двое ваших противников могут открыть по одной двери каждый (всего 2 двери), так что есть 2/3 шанса, что они получат машину. Это лучше, чем ваш 1/3 шанс, если вы останетесь со своей нынешней дверью, а в худшем случае вы получите 2 новых домашних козла.

Выбирая переключение двери в Задаче Монти Холла, вы фактически выбираете двери своего оппонента (одну открывает ведущий, а другую вы после того, как вы решили изменить себя).

Мы можем видеть это в результатах моделирования:

Результаты моделирования, если вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО измените свой выбор.

Давайте пройдемся по первым двум строкам таблицы, чтобы убедиться, что вы знаете, что происходит. В первом ряду мы выбрали дверь 1. Затем ведущий открывает дверь 2 или 3 и показывает козу. Мы выбираем ту дверь, которую он не открывал, и тоже получаем козла (потому что наш первоначальный выбор был правильным и машина находилась за дверью 1). Очень жаль!

Во втором ряду снова выбираем дверь 1.Но на этот раз машина за дверью 2. Зная это, хозяин может открыть только дверь 3, иначе он покажет нам машину! Наконец, мы переключаемся на дверь 2, открываем ее и получаем новенькую машину!

В наших 900 000 симуляций мы теперь выигрываем автомобиль в 600 000 из них (если мы поменяем местами), вероятность 2/3 точно так же, как мы рассуждали выше.

Надеюсь, вам понравилось, и вы нашли это проницательным. Я планирую изучить больше головоломок о вероятности и статистике в ближайшие дни. Ура и будьте здоровы всем!

Проблема Монти Холла — TV Tropes

«Если хост должен постоянно открывать дверь и предлагать вам переключатель, тогда вы должны взять переключатель. Но если у него есть выбор, разрешить переключение или нет, будьте осторожны.Пусть покупатель будет бдителен. Все зависит от его настроения.
Мой единственный совет: если вы можете заставить меня предложить вам 5000 долларов, чтобы не открывать дверь, возьмите деньги и идите домой ».

Классическая математическая задача о вероятностях. Базовая форма основана на одной из игр на Game Show Let’s Make a Deal . Участнику предлагается на выбор открыть любую из трех дверей, чтобы забрать все, что находится за выбранной дверью. За одной дверью стоит машина, за двумя другими прячутся козы.Участник выбирает дверь. Затем ведущий (который знает, что находится за каждой дверью) открывает одну из двух других дверей, показывая козу. Затем участнику предлагается выбрать: перейти к нераскрытой двери или придерживаться своего первоначального решения. Правильный ответ — переключиться, так как вероятность того, что машина окажется за другой дверью, составляет 66,7%. Это потому, что изначально вы выбрали козу с вероятностью 2 из 3, и переключение всегда будет давать вам противоположное тому, что вы выбрали изначально.Хост не предоставляет никакой новой информации, так как он может всегда открыть дверь с помощью козла. Смотрите The Other Wiki для объяснения математики. Обратите внимание, что это число верно только в том случае, если хост , требуется , чтобы показать козу, а затем предложить участнику выбор переключиться. См. The New York Times , чтобы узнать, что происходит, когда хост отсутствует.

Назван в честь давнего хозяина Let’s Make a Deal . Это вызывает удивительное количество обратного потока в Интернете.Даже первоначальная статья Мэрилин Вос Савант в 1990 году получила доинтернет-версию этого: многие люди (включая многих профессоров математики) писали, что она ошибалась, и не имело значения, переключились вы или нет. Оказалось, что в конце концов она была права, как показывает эта таблица.

Эта проблема часто связана с ошибкой, когда вопрос не включает представление о том, что ведущий всегда будет показывать козу, в отличие от того, чтобы открывать любую из незакрытых дверей наугад.Если он выберет наугад, тогда вы сделаете , чтобы получить новую информацию, когда коза будет обнаружена, потому что этого могло и не произойти; тогда вероятность того, что автомобиль окажется за каждой оставшейся дверью, составляет 50%. Одна из причин, по которой многие люди дают неправильный ответ на исходную проблему, заключается в том, что подсознательно путают ее с этой версией. Особенно вопиющие примеры могут не включать представление о том, что хост всегда будет давать игроку возможность переключиться вообще, учитывая возможность того, что хост позволяет переключаться только в том случае, если вы выбираете машину (в этом случае переключение дает вам 100% шанс получить козу).

Как это сработало в сериале, не имеет значения, тем более что сам Монти Холл в этом интервью отрицает, что он когда-либо действительно совершал эту сделку. Тем не менее, он протестировал ее в 1991 году и показал, что, хотя проблема Монти Холла применима ко многим вещам, она не применима к Монти Холлу.

Не путать с Монти Хаулом, это совсем другая проблема.


Примеры:

открыть / закрыть все папки

Фильмы — Живое действие

  • 21 , где им удается полностью запутать ответ на проблему: учитель, представляющий проблему , конкретно заявляет , что Монти (который знает, что за каждой дверью) может использовать «обратную психологию» в попытке обмануть его.Студент говорит, что это не имеет значения, но это имеет значение, потому что, если это действительно уловка, и Монти предлагает переключатель только тогда, когда выбрана правильная дверь, тогда шансы переключения и получения машины становятся 0%, а не 66,6%.

Телевидение в прямом эфире

  • Давайте заключим сделку — это Trope Namer для наиболее распространенной формулировки проблемы, как упоминалось выше, но редко, если вообще когда-либо позволял ей воспроизводиться дословно. Шоу обычно предлагало единовременную выплату наличными вместо размена.
  • Упоминается, но предотвращается в Deal or No Deal . В то время как участнику, который дошел до финального кейса, была предложена возможность поменять его / ее кейс, Хауи Мандель изо всех сил объяснил, что это была ситуация , а не , ситуация Монти Холла: шоу предлагало переключение всем, кто зашел так далеко, и он не знал, в каком деле, какая сумма в долларах, поэтому тот факт, что 24 из 26 дел были открыты, не повлиял на стоимость двух оставшихся дел.
  • MythBusters не только проверил вероятности задачи Монти Холла, как указано выше, но также и поведение участников при представлении ситуации. (Все 20 тестируемых «участников» придерживались своего первоначального решения, а не переключились.)
  • Лаборатория людей Джеймса Мэя сделала версию этой игры в русской рулетке с пивными банками под названием, подождите, «Охотник за пивом». Правила были просты: будет три банки, две из которых взболтанные. Джеймс выбирал одну банку, но всегда менял свое мнение после того, как Том забирал «опасную» банку, а Симми оставался с той, которую изначально выбрал Джеймс.Затем они подносили банки к лицу и вместе открывали банки. Они сделали это за сто раундов; Помимо переохлаждения и незначительного отравления углекислым газом, Джеймс также подтвердил эту версию, выиграв 40:60.
  • Неправильно вызвано в Survivor: Caramoan . Когда Рейнольду предоставляется выбор между куском пиццы, который он уже выиграл, или невидимым предметом, Кокран говорит ему, что это проблема Монти Холла, и Рейнольд должен выбрать невидимый предмет. Это вовсе не проблема Монти Холла, но Кокран действительно оказался прав по неправильным причинам — невидимый элемент действительно был на лучше.
  • Обсуждается в NUMB3RS , как и большинство математических концепций. Оказалось, что это пример класса Чехова, хотя в данном случае , преподающее Задачу Монти Холла, помогло Чарли получить «Эврику!». Момент.
  • The Price Is Right В была игра с ценообразованием под названием « Маркер Баркера» долларов США, которая ставила четырехстороннюю задачу Монти Холла. На игровом поле было четыре цены, три из которых совпадали с отображаемыми призами. Участник отметил три цены и, после того, как были обнаружены две, имел возможность переключить последний маркер на другую цену за 500 долларов, которые участник получил в начале игры.Решение приводит к возникновению проблемы, когда участник, выбрав вслепую три приза, имеет 75% -ный шанс на победу, если будет сделан выбор поменяться.
  • Brooklyn Nine-Nine играет это для комедии, когда капитан Холт и его муж Кевин спорят по этому поводу; Холт по-прежнему считает, что переключение бессмысленно и шансы составляют 50/50, поэтому он в конечном итоге яростно спорит с Кевином, который дает правильный (2/3) ответ. Сантьяго считает, что лучший способ заставить их помириться — это попытаться заставить Холта понять ответ, в то время как Диас, вооруженный знанием того, что Холт в последнее время много работает в ночную смену и у него не так много свободного времени, говорит Холту. ему в лицо, что он просто сдерживается, и «Вам двоим просто нужно кость.»
  • В старом игровом шоу «Сыграй свою догадку» (1958-63) базовая интуиция использовалась для определения того, какой из трех объектов является ответом на вопрос.

Видеоигры

  • Реализовано в Sandcastle Builder и может воспроизводиться несколько раз. Вместо автомобиля приз за выбор правильной двери — это 50% баланса вашего песочного замка. Вы потеряете все свои замки из песка, если сделаете неправильный выбор, но получите козу в качестве утешения, поскольку это в значительной степени отсылка к пародии на xkcd .В отличие от этого комикса, если козел обнаруживается за дверью, которую вы не выбирали (что не всегда происходит, чтобы было сложнее понять, брать ли переключатель, когда его предлагают), вы не можете выбрать сохраните его: если вы хотите козу, вам нужно найти другую козу. Чтобы посеять неразбериху, эта игровая функция называется «Проблема Монти Хаула».

Визуальные новеллы

  • Загадка представлена ​​в Umineko: When They Cry как способ побудить Анж придерживаться своей версии того, что произошло много лет назад.
  • Ссылка в Дилемма нулевого времени , где весь фрагмент назван в честь этой проблемы, включая демонстрацию проблемы в слегка измененной форме. В соответствующей комнате 10 шкафчиков. Только в одном шкафчике есть противогаз. После того, как выбор сделан, открываются 8 шкафчиков, все они пусты. Затем игрока спрашивают, хотят ли он придерживаться своего первоначального выбора или переключиться на другой шкафчик. Проблема обсуждается персонажами во время этого сценария.

Веб-комиксы

  • Пародировано в формате xkcd .Экзистенциалист в берете вместо того, чтобы сделать выбор, радостно уходит с первым обнаруженным козлом. Согласно альтернативному тексту, другая коза уехала на машине через несколько минут.

Западная анимация

  • В первом эпизоде ​​сериала « 13 призраков Скуби-Ду » злодеи обманом заставляют Скуби и Шэгги открыть Сундук демонов таким образом. Выдавая себя за игровое шоу (в старинном замке в Гималаях, не меньше!) Weird предлагает двоим следующие призы; Таинственная летающая машина, роскошная собачья будка, или они могут взять все, что есть в коробке.Это не закончилось хорошо.

    Weird: Итак, вы взяли коробку. Почему?
    Shaggy: Назовите это тупой догадкой.
    Weird: Что ж, давайте посмотрим, насколько тупой была ваша догадка!

  • Кот из мультфильма « Looney Tunes » «Ранняя ставка» к концу фильма стоит на костылях после того, как он перенес наказание от проигрыша в джин рамми бульдогу. Когда бульдог наконец прекращает игру, не желая, чтобы кошка больше страдала, ошибка в азартных играх (из-за которой кошка в первую очередь играла в джин-рамми с собакой) предлагает сыграть кошку на старшую карту.Кот рисует тройку. «Не очень хорошо, кот. Смотри». Розыгрыш ошибки в азартных играх: двойка. Кошка излагает собственное наказание Игровому Ошибку — свернутую копию Поста («Нет, нет! Только не Пост!»)
  • Подрыв в Пустота . При включении в импровизированное игровое шоу, где группа должна выбрать одну из трех дверей, чтобы найти портал, ведущий вперед, Мера предполагает , что ситуация является одной из таких, и хочет, чтобы они переключились после того, как ведущий обнаружит мула за одним из двери.Остальные сбиты с толку ее логикой, но в конечном итоге все равно решают ей доверять. Она ошибается, и им приходится сражаться с монстром, которого они должны обманом взломать дверь портала.

Реальная жизнь

  • Мэрилин Вос Савант, автор статьи журнала Parade «Спросите Мэрилин», позорно сказала, что правильный ответ — переключиться. (Она обратилась к неоднозначности в последующей колонке.)
  • В июле 1991 года самого Монти попросили помочь уладить спор раз и навсегда, проведя тесты в его доме с набором ключей, представляющим автомобиль, и парой дешевых закусок, изображающих коз.
    • Монти начал с решения проблемы, как обычно заявлено, в конечном итоге доказав, что Савант был прав. После этого он прочитал ее оригинальную статью и заметил то, что она не рассматривала …
    • В следующей серии тестов Монти находился в полноценном режиме крупного дилера, что в значительной степени означало, что все ставки были отключены: иногда он немедленно открывал выбранную дверь или предлагал различные суммы наличных, чтобы отменить сделку вместо переключатель. Как заметил Монти, «необходимо учитывать психологический фактор».
  • Некоторые люди (в том числе сама Вос Савант) предлагали варианты проблемы, чтобы объяснить, почему ответ правильный. У одного 1 миллион дверей вместо 3, человек выбирает случайную дверь (скажем, 472 865), и хозяин открывает все двери, кроме, скажем, 983 724, и спрашивает, хотите ли вы переключиться (не беспокойтесь о том, как он откроет 999 998 дверей. самостоятельно). Это делает его более очевидным, так как вначале это только 1 из миллиона, поэтому очевидно, что после того, как он удалит все, кроме одной неправильной двери, та, которая останется после, с большей вероятностью будет правильной.

Головоломка 6 | (Задача Монти Холла)

Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и вам предоставляется выбор из трех дверей: за одной дверью находится машина; позади остальных — козы. Вы выбираете дверь, скажем, №1, и хозяин, который знает, что за дверью, открывает другую дверь, скажем №3, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Выгодно ли менять свой выбор?

Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Решение:
Если переключиться, вы получите машину с вероятностью 2/3.Так что переключение — всегда хороший выбор. Обратитесь к этой видеолекции MIT для подробного объяснения. Обратитесь к редактируемому онлайн-моделированию зала Монти, чтобы поиграть с тем, как все меняется с несколькими дверями, призами и т. Д.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше
Если «хозяин, кто знает что за дверями »открывает дверь, в которой есть коза, тогда вероятность того, что машина была за этой дверью, была равна 0 до того, как дверь была открыта (фактически, как только машина была помещена за дверью).Поскольку хост знает, за какой дверью находится машина, то вероятность того, что машина находится за этой дверью, равна 1. Следовательно, вероятность выигрыша при переключении равна либо 0 (если хост знает, что за этой дверью нет машины за ней. ) или 1 (если хост знает, что за дверью стоит машина), а не 2/3.


Доказательство

Пусть E 1 , E 2 и E 3 будет 3 событиями, так что

E 1 = Автомобиль за дверью 1,

E 2 = Автомобиль находится за дверью 2,

E 3 = Автомобиль находится за дверью 3

И рассмотрим другое событие A, такое, что A = Хост открывает дверь 3

Итак, мы в основном должны найти вероятность P (E 1 | A), что в основном означает «Какова вероятность того, что автомобиль находится за дверью 1, учитывая, что хост уже открыл дверь 3».

Итак, согласно теории Байеса, мы можем записать эту вероятность как-


Теперь у нас есть вероятности P (E 1 ) = P (E 2 ) = P (E 3 ) = 1/3, так как ранее было одинаково вероятно, что автомобиль может находиться либо за дверью 1, либо за дверью 2, либо за дверью 3.

Далее, P (A│E 1 ) = вероятность того, что хост открыла дверь 3, если машина находится за дверью 1 = 1/2, так как хост может открыть дверь 2 или дверь 3, поскольку за ними обоих нет машины.

И у нас есть P (A│E 2 ) = вероятность того, что хост открыл дверь 3, учитывая, что машина находится за дверью 2 = 1, потому что если машина находится за дверью 2, то единственная дверь, которая хост может открыть дверь 3.

И, P (A│E 3 ) = вероятность того, что хост открыл дверь 3, учитывая, что автомобиль находится за дверью 3 = 0

Это связано с вероятностью хозяин, открывший дверь, за которой находится машина, получил 0 в соответствии с вопросом, так как он никогда не открывает дверь, если за ней находится машина.

Итак, поместив все эти значения в приведенную выше формулу, мы получаем-

Следовательно, мы видим, что вероятность того, что машина находится за дверью, составляет 1/3 1 ⇒ 1−1 / 3 = 2 / 3 шанс, что машина находится за дверью 2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *